Parallelogramma: formule ed esercizi per approfondire le proprietà
Tra le figure piane una di quelle fondamentali da conoscere è il parallelogramma. Si tratta di un poligono di quattro lati (appartenente quindi ai quadrilateri) e che oltre a potersi definire così è contenuto nell’insieme dei trapezi. Questi infatti hanno due lati paralleli (le basi) e lo stesso vale per questa figura , solo che oltre alle basi anche i lati obliqui fra loro sono paralleli.
Dato che la caratteristica saliente di questo poligono è questa si possono definire parallelogrammi anche i quadrati, i rombi e i rettangoli. Infatti anche tutte figure sono a loro volta quadrilateri e hanno i lati opposti a due a due paralleli.
Le proprietà principali del parallelogramma
Oltre ad essere paralleli i lati opposti di questa figura risultano anche congruenti fra di loro. Una volta che si conosce una base e un lato obliquo del quadrilatero quindi è già possibile calcolarne il perimetro. In più il poligono ha due altezze che si disegnano tracciando i segmenti perpendicolari dai vertici della base inferiore fino a quella superiore.
All’interno del parallelogramma possiamo individuare quattro angoli, uno per ogni vertice, che sono congruenti a due a due (sempre gli opposti). La somma dell’ampiezza di questi angoli è sempre uguale a 360° per tutte le figure di questo tipo. Inoltre gli angoli adiacenti allo stesso lato sono fra loro supplementari, ossia la loro somma è pari a 180°.
Le diagonali di questo quadrilatero non sono congruenti fra di loro come nel rettangolo, tuttavia incontrandosi si dividono ciascuna in due parti fra loro congruenti. Il punto di incontro delle diagonali quindi risulta essere il punto medio di ciascuna. Ma oltre a tagliarsi fra di loro le diagonali dividono la figura in quattro triangoli.
Considerando una diagonale alla volta il quadrilatero si divide in soli due triangoli, congruenti fra di loro. Se ci sono entrambe e i triangoli sono quattro quelli che risultano avere fra loro un angolo opposto al vertice sono uguali fra di loro.
Le formule principali di questo poligono
Prima di tutto partiamo dal perimetro (2p) del parallelogramma. Essendo un quadrilatero questo si può trovare facendo la somma delle misure dei quattro lati, ma sappiamo che quelli opposti fra di loro sono congruenti. Conoscendo una base (b) e un lato obliquo (l) basta quindi fare la somma del doppio di entrambi. Quindi 2p = 2l + 2b.
Per quanto riguarda invece l’area della figura, non ci serve il lato obliquo ma l’altezza del poligono (h). La formula infatti è uguale a quella usata per i rettangoli, il prodotto fra base e altezza. Possiamo scrivere quindi A = b x h, dove b può essere sia quella inferiore che quella superiore. Passiamo ora a vedere le formule inverse.
Per trovare la base o il lato obliquo partendo dal perimetro del parallelogramma è sufficiente conoscere la misura di uno dei due. Se conosciamo la base e il perimetro allora il lato obliquo si calcolerà facendo l = (2p – 2b)/2. Per ricavarsi la base sarà sufficiente fare la stessa cosa sostituendo al nominatore la misura del lato obliquo, quindi b = (2p – 2l)/2.
Se invece manca la misura dell’altezza ma si conosce quella della base si può utilizzare la formula inversa dell’area, ossia h = A/b. Conoscendo l’altezza e la base invece basta fare b = A/h. Poiché le altezze disegnano due triangoli rettangoli all’interno del poligono ci sono problemi in cui si richiede di applicare il Teorema di Pitagora.
Esercizi semplici sul parallelogramma
Un quadrilatero con i lati opposti paralleli ha un perimetro di 86 cm. La sua altezza misura 12 cm e il lato obliquo 20. Qual è la misura della sua area?
Per ricavare l’area della figura è necessario conoscere la base oltre che l’altezza. In questo caso abbiamo solo la seconda ma conoscendo la misura del perimetro e quella del lato obliquo è sufficiente adottare la formula inversa vista sopra. Vale a dire b = (2p – 2l)/2. Qui il lato obliquo è di 20 cm quindi sostituendo i valori si ottiene b = 86 – 40/2 = 13 cm.
Ora non serve che applicare la formula per trovare l’area dato che si hanno entrambe le misure necessarie. Si fa quindi A = b x h => A = 12 x 13 = 156 cm². Il problema è risolto.
Un parallelogramma ha l’area di 250 cm² e l’altezza pari a 15 cm. Se il lato obliquo è 2/3 della base, quale sarà il perimetro?
Ricavo subito la base dalla formula inversa dell’area facendo 250/10 = 25 cm. Ora per arrivare a calcolare il perimetro serve trovare la misura del lato obliquo. Dunque moltiplico i cm della base per 2/3 e ho risolto. Viene 25 x 2/3 = 16,7 cm. A questo punto uso 2p = 2l + 2b per trovare il perimetro. Quindi devo fare 50 + 33,4 = 83,4 cm.
