Prodotto vettoriale: guida completa per lo studio

Definizione del prodotto vettoriale

Il prodotto fra vettori è un’operazione possibile e definita solo nello spazio tridimensionale. Il risultato è un vettore perprendicolare a quelli di partenza il cui modulo dipende dai moduli dei vettori iniziali e dall’angolo convesso da essi definito. Il suo verso può essere determinato tramite la regola della mano destra. Questa regola, che poi ripetermo, è essenziale anche per lo studio dell’ elettromagnetismo.

In primis, abbiamo parlato di tridimensionalità dello spazio. Un vettore infatti è definito dalle coordinate dei tre assi cartesiani: x, y e z. Per il vettore prodotto occorrerà quindi calcolare tutte e tre le sue componenti cartesiane a partire dai vettori fattore.

Il prodotto vettoriale viene indicato con il simbolo x. Quindi se stiamo moltiplicando due vettori v e w il loro prodotto sarà scritto v x w.

Il modulo del vettore | v x w | sarà uguale al prodotto dei moduli dei due vettori per il seno dell’angolo convesso che essi descrivono. Indicando tale angolo con la lettera greca θ il seno sarà sinθ. Perciò | v x w | = || v || || w || sinθ.

La direzione di v x w è ortogonale ai due vettori. Il verso infine va determinato disponendo il pollice lungo direzione e verso del primo vettore e l’indice secondo direzione e verso del secondo. Il medio darà il verso del vettore prodotto.

Risultato geometrico del prodotto fra vettori

Il prodotto vettoriale ha una rappresentazione geometrica ben precisa. Considerando sempre due vettori v e w, il modulo del loro prodotto sarà l’area del parallelogramma che ha i loro moduli come misure dei lati. La figura avrà quindi due lati paralleli pari a | v | e due pari a | w |.

Per formare il parallelogramma v e w avranno lo stesso punto di applicazione. Possono quindi essere disegnati come lati consecutivi. Si potrebbe obiettare che l’area di questa figura corrisponde al prodotto fra base e altezza. Tuttavia l’altezza di un parallelogramma non è altro che un cateto di un triangolo rettangolo che ha per ipotenusa uno dei due vettori.

Seguendo la trigonometria applicata ai triangoli, ogni cateto è pari all’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto al cateto. Indicando sempre con θ l’angolo formato da v e w, allora l’altezza sarà vsinθ. Così w sarà la base e l’area si otterrà da || v || || w || sinθ.

Come si calcola

Per svolgere il calcolo vero e proprio occorre fare riferimento alle coordinate cartesiani delle grandezze vettoriali che stiamo moltiplicando.

Prendiamo due vettori s = ( s₁, s₂, s₃ ) e t = ( t₁, t₂, t₃ ). Oltre alle loro componenti dobbiamo considerare i tre versori, che indicano la direzione relativa a ogni asse cartesiano e hanno modulo pari a 1. Si indicano con i ( asse x ), j ( asse y ) e k ( asse z ). La formula di calcolo sarà:

s x t = ( s₂t₃ – s₃t₂ )i + ( s₃t₁ – s₁t₃)j + ( s₁t₂ – s₂t₁ )k

Le coordinate del prodotto vettoriale quindi saranno ( s₂t₃ – s₃t₂ , s₃t₁ – s₁t₃, s₁t₂ – s₂t₁ )

Questo calcolo apparentemente complesso deriva da una matrice 3×3, usata nel calcolo vettoriale. Per costruirla basta mettere sulla prima riga i versori, sulla seconda le coordinate di s e sulla terza le coordinate di t. Ogni colonna corrisponde alle coordinate lungo uno degli assi.

Quindi:  i     j     k

              s₁   s₂  s₃  

              t₁    t₂     t₃

Per svolgere il calcolo si prende il versore di una colonna. La sua colonna e la sua riga non si considerano e lo si moltiplica per la differenza dei  prodotti incrociati delle due righe restanti. Per prodotto incrociato si intende lungo le diagonali del quadrato che formano i quattro valori restanti. Ad esempio prendendo j, i prodotti incrociati saranno  s₃t₁ e s₁t₃. Infine si esegue la somma fra le tre differenze moltiplicate per i versori.

Il prodotto vettoriale non va confuso con il calcolo del determinante di una matrice.

Proprietà del prodotto fra vettori