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Teorema di Pitagora: guida completa con formule e dimostrazione

Teorema di Pitagora: guida completa con formule e dimostrazione

Teorema di Pitagora guida completa con formule e dimostrazione
  • Nausicaa Tecchio
  • Ottobre 13, 2021
  • Consigli per lo studio
  • 4 minuti

Teorema di Pitagora: la guida completa con formule e dimostrazione

Di triangoli ce ne sono tanti, classificati per angoli o lati. Ma il teorema di Pitagora ne vuole uno solo: il triangolo rettangolo. Ossia un triangolo con un angolo di 90°. I lati che racchiudono l’angolo retto sono detti cateti, il lato opposto all’angolo è detto ipotenusa.

Il teorema è attribuito a un celebre filosofo e matematico vissuto nell’antica Grecia. Pare che l’idea gli venne in un momento di noia, fissando delle piastrelle quadrate e immaginando di tagliarle a metà.

Indice
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Enunciato e formula del teorema di Pitagora

“In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti”. Per comprenderlo, occorre immaginare di costruire dei quadrati usando come base i lati del suddetto triangolo.

Si ottengono tre quadrati. Secondo l’enunciato, calcolando le aree dei quadrati dei due cateti e sommandole si avrà un risultato pari all’area del terzo quadrato.

Quali sono i risvolti pratici della formula? Presto detto. Il quadrato costruito su ogni lato è…la sua misura elevata alla seconda.

Considerando:

 a,b = cateti

c = ipotenusa

In formula a2 + b2 = c2

Spingendoci oltre, possiamo dire che la radice quadrata delle somme dei quadrati dei cateti è pari all’ipotenusa.

In formula: √a2 + b2 = c

In questo modo conoscendo le misure dei cateti si può ricavare quella dell’ipotenusa. Vediamo un esempio pratico per mettere a frutto quanto appena imparato.

Supponiamo di tagliare a metà un rettangolo. Le dimensioni dei lati di questa figura ci sono note. Rispettivamente 6 cm per l’altezza e 8 cm per la base del rettangolo. Ne ricaviamo due triangoli congruenti, la cui ipotenusa è la diagonale del rettangolo. Come procediamo?

Eleviamo al quadrato le misure di altezza e base. L’altezza sarà il cateto minore e la base il cateto maggiore. La diagonale alias ipotenusa la possiamo indicare con c.

6^2 + 8^2 = c^2

36 + 64 = c^2

100 = c^2

c=10

Dimostrazione del Teorema

Esistono più dimostrazioni del teorema di Pitagora, dato il suo ruolo fondamentale nella geometria euclidea. Quella canonica prevede innanzitutto di disegnare un quadrato di lato pari alla somma dei cateti.

Questo quadrato viene poi riempito con i quadrati costruiti sui cateti e quattro triangoli rettangoli uguali a quello di riferimento. Lo stesso quadrato può essere però riempito anche con il quadrato costruito sull’ipotenusa e quattro triangoli rettangoli. In sintesi:

(4 triangoli rettangoli + quadrati dei cateti) = (4 triangoli rettangoli + quadrato dell’ipotenusa)

Semplificando l’equazione:

Quadrati dei cateti = quadrato dell’ipotenusa

Formule inverse

Se sappiamo le misure dei cateti, possiamo ottenere l’ipotenusa. E se invece avessimo l’ipotenusa e un cateto? Che si fa?

Nessun problema, basta applicare le cosiddette formule inverse. In pratica, rigirare la formula a nostro vantaggio. Ecco come.

Supponiamo di avere a (cateto minore) e c(ipotenusa). Per ricavare b (cateto maggiore):

a2  + b2 = c2

a2 + b2 – c2 = 0

c2 – a2 – b2=0

c2 – a2 = b2

√c2 – a2 = b2

Per semplificare vedremo ora un esempio più concreto per l’applicazione del teorema di Pitagora. Immaginiamo un triangolo rettangolo di cui siano note la misura dell’ipotenusa (5 cm) e del cateto minore (3 cm).

Riprendendo la formula di prima, l’ipotenusa è c, il cateto maggiore b e il cateto minore a. Dunque elevando al quadrato dove richiesto:

9 + b^2 = 25

9 + b^2 – 25 = 0

25 – 9 – b^2 = 0

16 – b^2 = 0

b^2 = 16

b = 4

Semplice come bere un bicchier d’acqua no?

Terne Pitagoriche

 
Calcoli, calcoli e ancora…calcoli. Ma se potesse essere tutto più semplice e farci risparmiare tempo e calcolatrici? Anche a questo c’è una risposta: sono le terne pitagoriche. Per essere chiari, si tratta di terzine di numeri che rispettano la formula del teorema. Una, la più nota, la abbiamo già vista. Si tratta del gruppetto formato dai numeri 3, 4 e 5.
 
Bisogna imparare tutto a memoria? Certo che no, si possono ricavare con qualche accorgimento.
 
La prima regola è che ogni terna deve essere formata da numeri interi. Questo rende più semplici i calcoli, tanto per cominciare.Inoltre esistono terne pitagoriche primitive e derivate.
 
Le terne derivate sono ricavabili in men che non si dica. Basta moltiplicare per uno stesso fattore tutti i numeri “primitivi” e il gioco è fatto. Partendo dalla terna citata prima, ossia 3,4,5, possiamo ottenerne tantissime.
Ad esempio se moltiplichiamo tutti e tre i numeri per 4 abbiamo 12, 16 e 20. Verifichiamo le proprietà del nuovo gruppo:
 
12^2 = 144
16^2 = 256
20^2 = 400
 
Sommiamo i primi due. 144 + 256 = 400, quindi come 20^2
 

Individua le terne

 
Per riscrivere il tutto in termini più seri, indichiamo con d il fattore scelto. Se a,b,c è una terna pitagorica allora anche da,db,dc con d numero intero conserva le stesse proprietà.
 
Riconoscere una terna derivata quando la si trova costa un attimo. Infatti le misure delle terne primitive non hanno mai un divisore comune. In sintesi, non sono semplificabili. Per le terne derivate vale la regola opposta.
 
 Se da una terna derivata vogliamo risalire alla sua primitiva basta trovare il divisore comune. Per essere sicuri al 100% però una verifica è sempre consigliata.
 
Un altro trucchetto per individuarle subito è osservare le misure dei cateti. Un primo sospetto può nascere dal fatto che le misure sono sempre una pari e una dispari.
 

Per concludere rimandiamo ad altri approfondimenti di matematica:

  • guida alla parabola.
  • il piano cartesiano.
 
 
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Nausicaa Tecchio
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