Teorema di Pitagora: la guida completa con formule e dimostrazione
Di triangoli ce ne sono tanti, classificati per angoli o lati. Ma il teorema di Pitagora ne vuole uno solo: il triangolo rettangolo. Ossia un triangolo con un angolo di 90°. I lati che racchiudono l’angolo retto sono detti cateti, il lato opposto all’angolo è detto ipotenusa.
Il teorema è attribuito a un celebre filosofo e matematico vissuto nell’antica Grecia. Pare che l’idea gli venne in un momento di noia, fissando delle piastrelle quadrate e immaginando di tagliarle a metà.
Enunciato e formula del teorema di Pitagora
“In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti”. Per comprenderlo, occorre immaginare di costruire dei quadrati usando come base i lati del suddetto triangolo.
Si ottengono tre quadrati. Secondo l’enunciato, calcolando le aree dei quadrati dei due cateti e sommandole si avrà un risultato pari all’area del terzo quadrato.
Quali sono i risvolti pratici della formula? Presto detto. Il quadrato costruito su ogni lato è…la sua misura elevata alla seconda.
Considerando:
a,b = cateti
c = ipotenusa
In formula a2 + b2 = c2
Spingendoci oltre, possiamo dire che la radice quadrata delle somme dei quadrati dei cateti è pari all’ipotenusa.
In formula: √a2 + b2 = c
In questo modo conoscendo le misure dei cateti si può ricavare quella dell’ipotenusa. Vediamo un esempio pratico per mettere a frutto quanto appena imparato.
Supponiamo di tagliare a metà un rettangolo. Le dimensioni dei lati di questa figura ci sono note. Rispettivamente 6 cm per l’altezza e 8 cm per la base del rettangolo. Ne ricaviamo due triangoli congruenti, la cui ipotenusa è la diagonale del rettangolo. Come procediamo?
Eleviamo al quadrato le misure di altezza e base. L’altezza sarà il cateto minore e la base il cateto maggiore. La diagonale alias ipotenusa la possiamo indicare con c.
6^2 + 8^2 = c^2
36 + 64 = c^2
100 = c^2
c=10
Dimostrazione del Teorema
Esistono più dimostrazioni del teorema di Pitagora, dato il suo ruolo fondamentale nella geometria euclidea. Quella canonica prevede innanzitutto di disegnare un quadrato di lato pari alla somma dei cateti.
Questo quadrato viene poi riempito con i quadrati costruiti sui cateti e quattro triangoli rettangoli uguali a quello di riferimento. Lo stesso quadrato può essere però riempito anche con il quadrato costruito sull’ipotenusa e quattro triangoli rettangoli. In sintesi:
(4 triangoli rettangoli + quadrati dei cateti) = (4 triangoli rettangoli + quadrato dell’ipotenusa)
Semplificando l’equazione:
Quadrati dei cateti = quadrato dell’ipotenusa
Formule inverse
Se sappiamo le misure dei cateti, possiamo ottenere l’ipotenusa. E se invece avessimo l’ipotenusa e un cateto? Che si fa?
Nessun problema, basta applicare le cosiddette formule inverse. In pratica, rigirare la formula a nostro vantaggio. Ecco come.
Supponiamo di avere a (cateto minore) e c(ipotenusa). Per ricavare b (cateto maggiore):
a2 + b2 = c2
a2 + b2 – c2 = 0
c2 – a2 – b2=0
c2 – a2 = b2
√c2 – a2 = b2
Per semplificare vedremo ora un esempio più concreto per l’applicazione del teorema di Pitagora. Immaginiamo un triangolo rettangolo di cui siano note la misura dell’ipotenusa (5 cm) e del cateto minore (3 cm).
Riprendendo la formula di prima, l’ipotenusa è c, il cateto maggiore b e il cateto minore a. Dunque elevando al quadrato dove richiesto:
9 + b^2 = 25
9 + b^2 – 25 = 0
25 – 9 – b^2 = 0
16 – b^2 = 0
b^2 = 16
b = 4
Semplice come bere un bicchier d’acqua no?
Terne Pitagoriche
Individua le terne
Per concludere rimandiamo ad altri approfondimenti di matematica:
