Triangolo: proprietà e formule per risolvere i quiz di Matematica

Che cos’è un triangolo 

Si tratta di una figura piana delimitata dai segmenti che uniscono a due a due tre punti non allineati. Ciascuno dei tre lati è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza. Come figura geometrica ogni triangolo gode di queste proprietà:

•  Non è deformabile. Una volta stabilite le lunghezze dei lati c’è un solo valore possibile per ciascuno degli angoli e viceversa. Per i poligoni con più lati questa proprietà non vale. 

• Può sempre essere inscritto in una circonferenza o circoscriverne una. Per definizione per tre punti passa sempre una sola circonferenza, dunque nel caso del triangolo non serve che sia regolare come invece è per gli altri poligoni. 

• Si tratta dell’unico poligono che può essere solo convesso.

• Nella geometria euclidea la somma dei suoi angoli interni è sempre pari a 180°. Un segmento può essere considerato anche un triangolo degenere, poiché è anche il modo in cui si rappresenta un angolo piatto. In questo caso gli altri due angoli sarebbero pari a zero.

Classificazione dei triangoli  con i lati

A seconda della lunghezza relativa dei suoi lati un triangolo può essere classificato in tre categorie:

•  Scaleno. Tutti e tre i lati sono di misura diversa. Il perimetro della figura è dato dalla somma dei suoi lati.

• Isoscele. Due dei lati sono fra loro congruenti. I lati di lunghezza uguale sono detti lati obliqui, mentre il terzo è chiamato base. L’altezza del triangolo è la bisettrice dell’angolo opposto alla base e divide il triangolo in due metà speculari. Per calcolare il perimetro basta moltiplicare per due uno dei alti obliqui e aggiungere la misura della base. Gli angoli adiacenti alla base sono congruenti. 

• Equilatero. Tutti e tre i lati del triangolo hanno la stessa lunghezza. Per trovare il perimetro si moltiplica un lato per tre. Presenta sempre tre angoli di 60°.

Classificazione con gli angoli 

 Si può definire questa figura anche in base all’angolo interno più ampio. In tal caso un triangolo può essere:

• Ottusangolo. L’angolo maggiore è ottuso, ossia maggiore di 90°. Gli altri due angoli sono sempre acuti.

• Rettangolo. Il poligono possiede un angolo retto, pari a 90°. Il lato opposto all’angolo retto si chiama ipotenusa e gli altri due lati sono definiti cateti. A questa figura si applicano il Teorema di Pitagora e i due Teoremi di Euclide.

• Acutangolo. Tutti e tre gli angoli interni sono acuti, ossia di ampiezza inferiore a quella di un angolo retto. Nel caso del triangolo equiangolo gli angoli sono acuti e uguali, di 60°. 

Punti notevoli dei triangoli 

•  Ortocentro. Si tratta del punto di incontro delle tre altezze, relative a ciascuno dei lati. Per gli ottusangoli è sempre esterno, mentre per il triangolo rettangolo coincide con il vertice dell’angolo retto. 

• Baricentro. Coincide con l’intersezione delle mediane, ossia dei segmenti condotti da ciascun vertice al punto medio del lato opposto. Si tratta del centro di equilibrio della figura. Se il triangolo viene appeso ad un filo legato a quel punto rimane orizzontale.

•  Incentro. Questo punto risulta dall’incontro delle bisettrici dei tre angoli. Sono le semirette che dividono in due metà uguali gli angoli dei vertici da sono tracciate. Il nome deriva dal fatto che coincide anche con il centro del cerchio inscritto nel triangolo. 

•  Circocentro. Si tratta dell’intersezione dei tre assi della figura e si chiama così perché è il centro del cerchio circoscritto. Per tutti i triangoli è sempre equidistante dai vertici, ed è esterno nei triangoli ottusangoli.

• Excentro. Il punto di incontro tra le bisettrici di due angoli esterni e di quella dell’angolo interno non adiacente. Ogni triangolo ha dunque tre excentri in realtà, centri delle circonferenze exscritte.