Teorema di Euclide: la guida completa per lo studio
Dopo il teorema di Pitagora, occorre passare a ciò che dà il nome alla geometria che conosciamo, il teorema di Euclide. O meglio, i teoremi. Sono infatti due gli enunciati che lo compongono. Sempre riferiti ai triangoli rettangoli, forniscono delle regole sulla relazione fra i lati della figura. Ma soprattutto sul rapporto delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Enunciato del primo Teorema di Euclide
La prima relazione stabilita dal matematico greco è la seguente. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa. La regola vale sia per il cateto maggiore che per quello minore.
Per essere più chiari occorre specificare cosa sia la proiezione del cateto. Quando in un triangolo rettangolo si disegna l’altezza relativa all’ipotenusa questa le risulta perpendicolare. Il punto in cui termina l’altezza divide l’ipotenusa in due segmenti.
Supponiamo un triangolo qualsiasi ABC, retto in A e con ipotenusa BC. Disegnando l’altezza relativa all’ipotenusa e chiamandola AH, si divide l’ipotenusa in BH e HC. BH sarà la proiezioni di AB, mentre HC la proiezione di AC. I due segmenti non sono necessariamente congruenti.
Basandoci sull’enunciato del primo Teorema di Euclide e applicandolo al triangolo ABC, avremo due risultati da scrivere. Il quadrato costruito su AB non sarà altro che AB2 e quello costruito su AC sarà AC2. I rettangoli saranno per BC x HB e BC x HC
Quindi AB2 = BC x HB e AC2 = BC x HC.
Il primo Teorema di Euclide in forma proporzionale
Esiste anche un’altra formulazione di questo teorema, più utilizzata nei libri di testo. L’enunciato è presentato in forma più criptica. In questo caso recita “In ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa”.
La forma è diversa ma il significato è il medesimo. Si tratta della regola riscritta come proporzione. Ritornando al triangolo ABC di prima si possono infatti ricavare le seguenti relazioni.
BC : AB = AB : HB il medio proporzionale, ossia la misura centrale, è il cateto AB. Supponendo di avere note le misure di BC e HB, per risolvere la proporzione si ottiene come prima AB2 = BC x HB. Con la radice quadrata si ricava la misura di AB.
Lo stesso vale per il cateto AC. La proporzione sarà BC : AC = AC : HC Con BC e HC noti si può risolvere la proporzione con AC2 = BC x HC. Per ricavare AC anche qui è sufficiente fare la radice quadrata.
Enunciato del secondo Teorema di Euclide
Riferendosi sempre al triangolo ABC, rispettivamente con altezza AH e proiezioni dei catei HB e HC, la formula viene AH2 = HB x HC. Come prima il quadrato costruito sull’altezza è il quadrato della sua misura. Il rettangolo aventi per lati HB e HC ha come area il loro prodotto.
