Prisma a base triangolare: proprietà e calcolo del volume
Tra i primi solidi che si studiano c’è il prisma a base triangolare, una figura 3D molto semplice. Si tratta della forma “classica” per i prismi usati in fisica per mostrare la scomposizione della luce solare bianca nello spettro dei sette colori (rosso, arancione, giallo, verde, azzurro, indaco e violetto). Il solido di vetro genera infatti la rifrazione del raggio di luce e proietta sulla parete le diverse lunghezze d’onda.
A livello geometrico questo solido ha sempre come basi due triangoli, ma può variarne la tipologia: isoscele, scaleno o equilatero.
Come è fatto il prisma a base triangolare
Si tratta di un poliedro, ossia di un solido delimitato da facce poligonali, di cui due (le basi) sono congruenti fra di loro e disposte su piani paralleli. Le basi sono collegate fra di loro da delle facce con sviluppo verticale con forma di rettangolo o di parallelogramma, a seconda della posizione che assumono i poligoni di base.
Come dice il nome stesso del solido (prisma a base rettangolare) le due figure geometriche disposte su piani paralleli sono triangolari. Nel caso si tratta di triangoli equilateri si parlerà allora di prisma regolare perché questa figura appartiene alla categoria dei poligoni regolari, con angoli e lati uguali.
Se le basi sono perfettamente allineate e le facce laterali sono rettangoli (quindi perfettamente perpendicolari al piano della base) si parla di prisma retto. Se invece la superficie laterale è delimitata da parallelogrammi si avrà un solido obliquo, con un’inclinazione variabile a seconda della distanza orizzontale fra le basi.
Secondo la classificazione di queste figure 3D n prisma regolare sarà sempre un prisma retto. Non è sufficiente che le basi siano poligoni regolari ma occorre anche che le facce laterali siano rettangolari. Le formule per ricavarne volume e superficie non subiscono variazioni, ma sono sempre le stesse in tutti i casi.
Come calcolare il volume
Prima di vedere la formula per calcolare il volume del prisma a base triangolare serve definire alcuni elementi del solido. Per indicare l’area di base useremo Ab, per l’altezza del prisma (distanza fra le due basi) la lettera h mentre per il triangolo di base la lettera b per la base del triangolo e Hb per la sua altezza.
Indicando con V il volume si avrà perciò Ab x h = V. Poiché la base è un triangolo la sua superficie si calcolerà facendo Ab = b x Hb/2. Per calcolare l’altezza basta dividere il volume per l’area di base, quindi h = V/Ab. Invece per trovare la superficie di base conoscendo il volume e l’altezza si fa l’opposto, ossia Ab = V/h.
Vediamo ora un esempio pratico per vedere come si applicano tali formule. Un prisma di vetro a base triangolare è alto 10 cm se appoggiato in verticale e ha per base un triangolo equilatero di lato pari a 3 cm e altezza uguale a 2,6 cm. Trova il volume del solido.
Il calcolo richiede di trovare per prima l’area di base e quindi fare (3 x 2,6)/2 = 3,9 cm2. Così si ottiene Ab, e la misura dell’altezza è fornita dal testo del problema. Infine per trovare il volume basta utilizzare la formula vista in precedenza (Ab x h = V) e quindi 3,9 x 10 = 39 cm³.
Le proprietà del prisma a base triangolare
- Come tutti i prismi le sue basi hanno la stessa superficie di base e giacciono su piani paralleli.
- Se si tratta di un prisma retto allora l’altezza del solido corrisponde a quella dei rettangoli che compongono la sua superficie laterale. O, in altre parole, a ciascuno degli spigoli laterali della figura 3D. Di conseguenza questi spigoli risultato perpendicolari ai triangoli di base e paralleli all’altezza del solido.
- Il prisma a base triangolare che ha per base un triangolo equilatero ha tutte le facce laterali rettangolari e congruenti fra di loro. Se Se la base è un triangolo isoscele solo due facce laterali sono congruenti fra di loro, mentre se è scaleno tutti i rettangoli della superficie laterale hanno superficie diversa.
- Nel caso si tratti di un prisma retto la proiezione ortogonale di una base sull’altra coincide perfettamente con la base opposta. Se il solido è obliquo invece la proiezione sarà congruente con la base opposta ma risulterà esterna al solido, in parte o per intero.
