Solidi geometrici nella geometria: una guida completa
In terza media dopo le figure piane si iniziano a studiare i solidi geometrici. I diversi tipi di prisma, il cubo, la sfera… ognuno possiede caratteristiche particolari e un proprio volume. In comune hanno il fatto di essere tutti orientati su tre dimensioni: l’altezza, la larghezza e la profondità. Ma è la loro classificazione che è fondamentale imparare presto.
Praticamene tutti gli oggetti di uso quotidiano possono essere ricondotti a figure geometriche tridimensionali o a diverse loro combinazioni. Lo stick per le labbra è un cilindro, le zollette di zucchero sono cubi…e così via. In questa guida vedremo i solidi principali e la loro definizione.
Le tre categorie principali di solidi geometrici
I principali insiemi in cui riunire le figure 3D sono i seguenti:
- Solidi di rotazione. Risultano come suggerisce il nome dalla rotazione di una figura piana attorno a uno dei suoi lati. Per fare un esempio il cono non è altro che il volume creato da un triangolo che ruota di 360°, come un cilindro invece è la figura generata da un rettangolo che gira.
- Prismi. Si tratta di poliedri che sono delimitati da figure geometriche piane dette facce, di cui quelle laterali sono sempre parallelogrammi. Le figure su cui poggiano (basi) possono essere anche poligoni diversi ma sono uguali e parallele fra di loro. Lo stesso vale per le altre facce, a due a due.
- Solidi geometrici irregolari. Queste figure tridimensionali hanno forme non ascrivibili a solidi ben definiti e sommano in genere tratti di superfici curvi ad altri squadrati. Per calcolarne il volume non ci sono formule quindi si ricorre ad altri metodi come la misura della capacità di un contenitore analogo al solido.
- Piramidi. Diverse dai prismi in quanto non ci sono due basi uguali ma una sola. le facce laterali sono tutte triangoli isosceli che convergono verso un punto sulla sommità detto vertice.
Le caratteristiche delle figure tridimensionali
Aggiungendo la profondità tutta la prospettiva cambia e rispetto alle figure piane i solidi geometrici hanno molti più elementi che li caratterizzano. Vediamoli singolarmente di seguito:
- I vertici. Si tratta del punto in cui convergono più lati delle facce del solido. Per definizione però è dove si incontrano almeno tre delle figure che fanno parte della superficie dell’oggetto. Per calcolarne il numero per prismi e piramidi si sommano gli spigoli e poi si aumenta la cifra ottenuta di 2.
- Gli spigoli. Non sono altro che i lati delle figure geometriche che unendosi delimitano lo spazio occupato dall’oggetto. I solidi di rotazione naturalmente ne sono privi visto che hanno una superficie laterale curva. Sono pari al numero dei vertici diminuito di due unità.
- Le facce. Come accennato non sono altro che i poligoni e le figure geometriche che compongono i solidi geometrici, come i fogli di cartone che formano uno scatolone. Quella che poggia sul terreno è la base e nei prismi ce ne sono due mentre nelle piramidi una sola. Per i solidi di rotazione le basi sono sempre dei cerchi.
- Angoloide. Mentre per le figure piane l’angolo è delimitato da due lati con un vertice in comune, quando si passa alle tre dimensioni è diverso. A definire l’angoloide come viene chiamato nel caso dei solidi è l’incontro di tre facce, come per i vertici.
Formule principali legate ai solidi geometrici
Il volume dei solidi geometrici consiste invece nella misura in cm^3 o m^3 dello spazio che la figura occupa. Dipende sempre da di che solido si tratta ma in generale per i prismi regolari si moltiplica l’area della base per l’altezza del solido. Lo stesso vale per il cilindro: si trova la superficie del cerchio su cui poggia e si fa il prodotto per la distanza fra le due basi dell’oggetto.
Il caso della sfera è a sé stante in quanto la formula per trovarne il volume richiede di conoscerne solamente il raggio. Il calcolo da fare infatti è 4/3(πr3). La sua superficie totale invece (l’unica calcolabile) si trova utilizzando la formula 4πr2.
Un breve formulario
- Il cubo. Ogni spigolo di questo prisma è il lato di uno dei quadrati. Le sei facce sono tutte uguali quindi scoperta l’area di una di loro (l2) basta moltiplicarla per 4 per trovare la superficie laterale del solido (6 per la totale). Il volume invece si trova elevando al cubo la misura dello spigolo (l3).
- Cono e cilindro. Entrambi questi solidi geometrici hanno per base/basi un cerchio, la cui area si trova con la formula πr2. La superficie laterale del cono si trova calcolando πr ⋅ a (apotema) mentre per il cilindro basta fare 2πrh. Il volume del colo è dato dalla formula (πr2 ⋅ h)/ 3 mentre per il cilindro πr2 ⋅ h.
- Tronco di cono. In questo caso le basi sono due cerchi di raggio diverso quindi bisogna considerare r (raggio minore), R (raggio maggiore), Sb (area base minore) e SB (area base maggiore). Il volume si trova con la formula (π x h/3)(R² + r² + R x r). La superficie totale invece richiede il calcolo π x (R + r) x a + R² + π x r².
