Formule della sfera: una guida completa con esempi pratici
Uno dei solidi geometrici più particolari è quello privo di spigoli. Per questo imparare le formule della sfera richiede più concentrazione, dato che ne presenta di più peculiari rispetto alle figure 3D delimitate da poligoni. La si studia anche nella geometria analitica a tre dimensioni (con gli assi x, y e z).
Nella seguente guida vedremo come si calcolano la superficie, il volume e il raggio della sfera oltre a qualche esercizio per vedere come utilizzarle. Questo solido può anche essere visto come un poliedro delimitato da facce piccolissime e puntiformi, che così sono indistinguibili e gli danno un aspetto liscio.
Formule della sfera: la superficie
Prima di tutto meglio riprendere la definizione di questa figura tridimensionale. L’enunciato afferma che la sfera è un insieme di punti dello spazio equidistanti a un punto fisso che viene detto centro. Secondo un altro concetto invece si tratta di un solido di rotazione prodotto da un semicerchio che giri intorno al proprio diametro.
In entrambi i casi sappiamo che come per la circonferenza anche la sfera ha un suo raggio, uguale per ogni punto che la compone nella sua parte esterna. La prima delle formule della sfera è quella della sua superficie (totale ovviamente), ossia Stot = 4πr2 . Il valore di π è già noto ma occorre conoscere il suo raggio per completare il calcolo.
Se per esempio abbiamo un pallone perfettamente liscio che come diametro ha 20 cm, si fa presto a ricavarne la superficie. Basta dividere il diametro per due e trovare il raggio (20/2 = 10 cm) e poi applicare la formula vista prima. Quindi Stot = 4πr2 = 4 x 3,14 x 100 = 1256 cm2 . La formula inversa per trovare il raggio invece sarà r = √( Stot /4π).
Se una palla di cristallo di un mago ha come superficie 2826 cm2 trovare il suo raggio sarà molto semplice. Basterà sostituire i dati all’interno dell’equazione r = √( Stot /4π), ottenendo r =√( 2826 /4 x 3,14) e il risultato del problema sarà 15 cm.
Come calcolare il volume del solido
Un’altra delle formule della sfera fondamentali è quella per trovarne il volume. Come per la superficie la chiave è il suo raggio, ma anziché al quadrato lo si eleva al cubo (di solito si dice “erre 3”) e lo si moltiplica per 4/3π. La formula è la seguente: V = 4/3 πr3. Da aggiungere che questa figura tridimensionale presenta il rapporto minimo tra la superficie e il volume.
Vediamo un semplice esempio: Produco delle bolle di sapone di raggio pari a 2 cm, qual è il volume complessivo se ne gonfio 6? Per risolvere il problema basta utilizzare la formula vista sopra e trovare il volume di una delle bolle. Quindi fare 4/3 π x 23. Il risultato è 33,5 cm3 e visto che le bolle sono sei in tutto devo moltiplicare 33,5 x 6 = 201 cm3.
Come prima però le formule della sfera da considerare per il volume sono due: c’è anche l’inversa per calcolare il raggio. Vale a dire r = 3√(3V/4π). Anche in questo caso si può fare un esempio. Una sfera galleggiante si trova in una piscina contiene un volume d’aria pari a 480 cm3, qual è il suo diametro?
Prima di tutto si applica la formula inversa appena vista sostituendo il valore del volume noto. Quindi r = 3√(3 x 480 /12,56) = 4,85 cm. A questo punto visto che il problema richiede di calcolare il diametro basta raddoppiare questo valore. Dunque si fa 4,85 x 2 = 9,7 cm e si è finito.
Le formule della sfera per la calotta
Volendo studiare in modo più approfondito questo solido ci sono anche altri elementi da considerare. Si può infatti suddividere la figura tridimensionale in sezioni chiamate calotte sferiche. Per definizione ognuna di loro è una porzione di sfera tagliata da un piano secante al solido. Ognuna può avere dimensione diversa.
In caso il piano secante al globo passi per il suo diametro ossia il punto più largo allora si ottengono due semisfere identiche fra loro. Senza dover ricorrere a nuove formule della sfera il volume o la superficie di entrambe si trovano dividendo il valore dell’intero per due. Per le altre calotte invece il calcolo è più complesso.
Ogni calotta ha una propria altezza h, che corrisponde alla distanza fra il polo e il piano secante, La superficie della calotta si può quindi calcolare con la formula S = 2πrh. Se ad esempio il piano taglia a 10 cm dal polo superiore e il raggio della sfera è di 5 cm allora basterà fare 3,14 x 2 x 5 x 10 = 314 cm2.
Per il volume di una calotta sferica invece la formula da usare è V = πh2 ∙ (r – h/3). Si moltiplica il valore di π per il quadrato dell’altezza della calotta e per la differenza fra il raggio della sfera e un terzo dell’altezza della calotta.
