La sezione aurea di Fibonacci
Le espressioni “sequenza di Fibonacci” e “sezione aurea” si sentono nominare spesso ma non tutti ne conoscono il reale significato. Spesso i due concetti sono associati e in effetti esiste una relazione che le lega. Infatti il rapporto espresso dal numero aureo si può ricavare dalla successione numerica del celebre matematico italiano.
Nella letteratura e persino nel cinema sia Fibonacci che la proporzione aurea hanno spesso occupato il centro della scena per il loro mistero. Si tratta infatti non di concetti astratti ma di numeri che ricorrono spesso nel mondo naturale, per esempio nella disposizione delle foglie sugli steli delle piante o dei petali dei fiori.
Cosa rappresenta la sezione aurea
Sono tanti i nomi con cui è conosciuto questo valore. Tra gli altri si parla spesso di numero aureo o costante di Fidia, dal nome del celebre scultore ateniese vissuto nel V secolo a.C. A lui si attribuiscono la statua di bronzo di Athena Promachos dell’acropoli e la scultura crisoelefantina chiamata Athena Parthènos per il Partenone.
Il numero aureo non è intero, anzi ha un’espansione decimale che può continuare all’infinito come per il valore di π. La lettera greca usata per indicarlo è φ e le cifre emblematiche per indicare il rapporto che esprime la costante di Fidia sono 1,61803. Se si parla di sezione aurea però ci si riferisce anche alla sua rappresentazione figurativa, nota in geometria.
Per ottenerla è sufficiente disegnare un segmento AB di qualsiasi lunghezza. Lo si prolunga di un segmento AC volendo rispettare la relazione AC:AB=AB:BC. Per capire come disegnare AC si può provare a risolvere la proporzione scrivendo la lunghezza di questo segmento come incognita (x). Scrivendo AB come a perciò si ottiene x : a = a : (x – a).
Sfruttando la proprietà delle proporzioni in cui il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi si ottiene l’equazione di secondo grado x2 – ax – a2 = 0. Una volta risolta l’equazione se si fa il rapporto x/a il risultato è rappresentato proprio da φ. Ma il suo valore compare anche nella realtà, come nella struttura a spirale della conchiglia del Nautilus.
La sequenza di Fibonacci
Più nota ancora della sezione aurea, si tratta di una successione di numeri che parte con 0 e 1 in cui ogni numero è il risultato della somma tra i due precedenti. Quindi si avrà 0,1,1,2,3,5,8,13…e può continuare all’infinito seguendo sempre lo stesso principio. La particolarità però è il valore che si ottiene eseguendo il rapporto tra due cifre affiancate nella sequenza.
Ogni numero di Fibonacci diviso per quello precedente infatti fornisce un risultato che man mano che si procede verso valori più alti tende a 1,6103. Basta fare una prova partendo dall’inizio: 2 : 1 = 1, poi 3 : 2 = 1,5, seguito da 5 : 3 = 1,666, poi 8 : 5 = 1,6…e così via. Si può dire allora che il numero aureo rappresenta il limite a cui tende questa serie di rapporti.
Indicando sempre con φ la sezione aurea e con Fn la sequenza di Fibonacci possiamo allora scrivere la formula lim = Fn + 1/Fn = φ. Il limite si intende per valori di n che tendono a infinito dato che la serie di numeri non ha un termine fissato. Per dimostrare questa relazione si ricorre all’induzione dopo aver verificato con i calcoli.
In natura i numeri di Fibonacci si trovano in particolare nei petali presenti nei fiori. Di solito si trovano disposti in una corolla in gruppi di 5, 8, 13, 21, 34 o 55, tutti valori che si trovano nella sequenza.
La sezione aurea nell’arte
Il rapporto espresso da φ è ricorrente nelle proporzioni presenti in diverse opere sia scultoree che pittoriche realizzate nel corso dei secoli. E la usano tutt’ora anche gli esperti di design e i fotografi per costruire spazi, allestire set o scegliere le pose per i soggetti che immortalano.
In fotografia in particolare torna utile il rettangolo aureo, una figura piana costruita nel rispetto della proporzione della sezione aurea. Il valore che si ottiene dividendo il lato maggiore per il minore è lo stesso di quello fra il lato minore e il segmento differenza fra i due lati. Chiamando AB il lato maggiore, BC il minore e AE la differenza allora AB = BC + BE.
La griglia in cui si costruisce l’immagine che il fotografo vuole immortalare sarà costruita accostando più rettangoli aurei fra di loro. I loro lati rappresentano le linee di forza che creano i diversi spazi dove inserire gli elementi o lo sfondo. Le intersezioni fra le linee invece creano i punti di forza, che nei ritratti corrispondono alla posizione degli occhi.
Esiste anche il triangolo aureo, che presenta la proporzionalità aurea fra due dei suoi elementi e che risulta essere isoscele. Gli angoli ala base sono sempre di misura doppia rispetto a quello al vertice, e sono ampi rispettivamente 72° e 36°. Questa figura si nota per esempio nella Gioconda disegnando un triangolo che racchiuda la donna.
