Cilindro: formule e proprietà
Una delle figure geometriche tridimensionali che si vede più facilmente nel quotidiano è il cilindro. I tubi dell’acqua, le colonne che reggono i monumenti, le bottiglie e le borracce che teniamo in borsa. A livello funzionale sono importanti nella dinamica dei fluidi compresa la circolazione corporea visto che anche vene e arterie hanno una sezione cilindrica.
Imparare le formule principali relative a questo solido geometrico è necessario non solo per chi studia Fisica o Biologia ma anche per i test di ingresso a Medicina. Non è raro che alcune domande richiedano di ricavare volume e area di questa figura o che si riferiscano a delle sue proprietà.
Che cos’è il cilindro
Si tratta di uno dei solidi di rotazione, vale a dire quelli generati da una figura geometrica bidimensionale che ruota attorno ad un’asse del suo piano di 360°. In questo caso a generare il solido è un rettangolo, che può ruotare sia intorno alla propria base che alla propria altezza. Il risultato della rotazione sarà sempre una struttura tridimensionale di forma cilindrica.
A questa categoria appartengono anche il cono (triangolo che ruota), il tronco di cono (trapezio rettangolo che gira) e la sfera (generata da un semicerchio). Esistono anche i solidi di rotazione parziale dove l’angolo di cui la figura piana ruota attorno all’asse è inferiore a 360° ma raramente si studiano per i test.
Ogni cilindro ha due basi di area circolare congruenti fra di loro e un’altezza, corrispondente alla distanza fra le basi. Nel caso della forma cilindrica equilatera l’altezza e il diametro delle basi hanno la stessa misura. Se si fa passare un piano perpendicolare alle due basi e passante per il loro centro la sezione che se ne ricava è quadrata.
In quanto figura prodotta dalla rotazione di un poligono questo solido si definisce rotondo così come cono, sfera e tronco di cono. In questo modo li si può distinguere dai poliedri che invece sono composti da poligoni sia a livello delle basi che sulla superficie laterale. Per parlare di solido rotondo almeno una delle superfici deve essere curva.
Calcolare area di base e area laterale della figura
Dato che entrambe le basi del cilindro sono dei cerchi per trovare la loro area basta usare quella del cerchio quindi raggio x raggio x 3,14 (π r²). le due basi sono congruenti quindi per la superficie di base totale basta moltiplicare il risultato ottenuto per due. Il raggio del cerchio di base non è altro che il lato su cui poggia il rettangolo.
Per quanto riguarda la superficie laterale per trovarla occorre conoscere oltre al raggio del cerchio di base anche l’altezza del cilindro. La formula per ricavarla è Slat = 2πr ∙ h. In pratica si trova la circonferenza della base e poi la si moltiplica per l’altezza, quindi si può anche fare dπ ∙ h, dove d è il diametro.
La superficie totale del cilindro infine si trova sommando l’area di base con la superficie laterale. Indicando con A l’area di un cerchio di base e con Slat quella laterale per trovare la misura della superficie totale basta scrivere Stot = 2A +Slat.
Per fare un esempio se ho un cilindro con raggio di base = 6 cm e altezza = 9 cm, trovo l’area di base facendo 36π = 113,04 cm². Quella laterale si trova facendo 12π ∙ 9 = 339,12 cm² e infine per la superficie totale si può fare la somma del doppio dell’area di base con l’area laterale. Quindi 339,12 + 2(113,04) = 565,20 cm².
Il volume del cilindro
Per capire la capacità di un misurino cilindrico graduato o la portata di un tubo serve calcolare il suo volume interno. Se si conosce già l’area di base del solido allora è sufficiente moltiplicarla per l’altezza, ossia V =Abase x h. Se invece si conosce il raggio di base basta fare un passaggio in più e scrivere V = πr2 ∙ h.
Ad esempio supponiamo di avere un cilindro con raggio di base pari a 4cm e altezza di 8 cm. Prima di tutto posso trovare l’area di base, pari a 16π cm² o meglio 50,24 cm². Dopodiché moltiplico questa misura di superficie per l’altezza e ottengo V = 50,24 x 8 = 401,92 cm3.
Dalla formula del volume posso ricavarmi quelle inverse per trovare rispettivamente l’altezza e l’area di base. Nel primo caso devo solo dividerlo per la misura della superficie del cerchio su cui poggia quindi V/Abase =h e l’inverso nel secondo caso, quindi V/h =Abase.
Se invece volessi ricavare direttamente la misura del raggio della base conoscendo volume e altezza del solido devo usare una formula più articolata. Vale a dire la radice quadrata del quoziente fra il volume e il prodotto fra π e h . La scrivo r = √[V/(π ∙ h)].
