La trasformazione isoterma in termodinamica
Una trasformazione isoterma è una tipologia di processo termodinamico che si svolge a temperatura costante mentre le altre due variabili di stato possono cambiare. A compiere queste trasformazioni infatti sono i gas perfetti, definiti dalle misure di queste tre grandezze. Ci sono altri tipi di processi in cui invece a restare fissa è una variabile diversa dalla temperatura.
Queste sono rispettivamente la trasformazione isocora (quando il volume rimane costante) e isobara (se a restare fissa invece è la misura della pressione). Nel caso di quella che esamineremo per studiarla in laboratorio si utilizzano delle apparecchiature apposite chiamate termostati.
La trasformazione isoterma e la legge di Boyle
Consideriamo la situazione in cui abbiamo un cilindro di metallo con un pistone sulla sommità contenente un gas perfetto. Se il pistone si alza il gas si sta espandendo compiendo un lavoro, mentre la temperatura interna rimane costante. Di conseguenza a determinare il movimento può essere solo una variazione di pressione.
Per descrivere la relazione che lega le tre variabili di stato del gas (temperatura, volume e pressione) in una trasformazione isoterma c’è la legge di Boyle. Essa afferma che in un processo termodinamico di questo tipo il prodotto tra pressione e volume del gas rimane costante.
In formula possiamo scrivere che PV = k (costante) = T (temperatura).
Poiché avviene una trasformazione è più corretto riscrivere la formula definendo pressione iniziale e finale (Pi e Pf) e lo stesso per il volume (Vi e Vf). Possiamo indicare anche temperatura iniziale e finale (Ti e Tf) che però fra di loro resteranno uguali. Possiamo scrivere allora che PiVi =PfVf = T, che poi è la formula che si utilizza negli esercizi.
Se una delle quattro grandezze soggette a variazione (Pi, Pf, Vi e Vf) è l’incognita di un problema infatti è sufficiente utilizzare la corrispondente formula inversa. Per pressione e volume iniziali ad esempio possiamo avere Pi = PfVf/Vi e Pf = PiVi/Vf.
Esercizi sulla legge di Boyle
Per capire come usare le formule appena viste prendiamo un paio di esercizi dove si svolge una trasformazione isoterma. Partiamo con un problema semplice: un gas si trova a una pressione di 1,5 atm e occupa un volume di 1,2 L. Se mantenendo costante la temperatura iniziale la pressione sale a 3 atm, calcola il volume finale occupato dal gas.
Ricapitolando i dati dell’esercizio troviamo che Pi è pari a 1,5 atm,Pf è di 3 atm e Vi è di 1,2 L. Abbiamo quindi note tre delle misure della formula PiVi =PfVf, ma dobbiamo trovare il valore di Vf. Quindi sostituiamo i dati e scriviamo che 1,5 x 1,2 = 3Vf. Per trovare Vf non rimane che utilizzare la formula inversa PiVi/Pf. Dunque Vf è 1,8/3 = 0,6 L.
Passiamo ora a un caso diverso ma sempre relativo a una trasformazione isoterma. Un gas si trova alla temperatura di 243 K e a 1,5 atm occupa un volume di 2 L. Se senza cambiare la temperatura il volume passa a 1,4 L, qual è la variazione di pressione che si osserva? In questo caso dobbiamo trovare Pf ma come prima abbiamo tutti i dati che ci servono.
Abbiamo Pi che vale 1,5 atm, Vi pari a 2 L e Vf che è uguale a 1,4 L. Per trovare il dato mancante perciò dobbiamo usare la formula inversa Pf = PiVi/Vf. Sostituendo i valori perciò 1,5 x 2/1,4. Il risultato che si ottiene è pari a 2,14 atmosfere.
Trasformazione isoterma e trasformazione adiabatica
A prima vista sarebbe facile confondere questi due processi. Nel caso delle trasformazioni adiabatiche però parliamo di quando ci sono dei sistemi che non scambiano calore con l’esterno, né cedendolo né acquistandone. Si tratta inoltre di processi termodinamici che possono interessare qualsiasi tipo di sistema, non solo i gas ideali.
La legge che regola queste trasformazioni è Q = 0, poiché non c’è variazione del calore interno del sistema. Per fare un esempio semplice pensiamo ai thermos che si usano in viaggio per avere bevande calde o fresche. Si dice perciò che le pareti di questo contenitore sono adiabatiche perché non permettono di disperdere o acquistare calore.
Non si può dire che sia come una trasformazione isoterma dato che non c’è una variabile che si mantiene costante, ma c’è un’ulteriore differenza. Visto l’esempio del gas nel cilindro con il pistone è chiaro che si tratta di modifiche reversibili e il sistema può tornare alle condizioni iniziali. ma non è così nel caso dei processi adiabatici. Il significato del termine infatti è “invalicabile”.
Il lavoro nei processi adiabatici è sempre uguale all’opposto della variazione dell’energia interna del sistema che stiamo considerando. Nel caso di quelli isotermi invece si calcola utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti. La formula che risulta è nRTln(Vf/Vi), e il lavoro risulta positivo in caso si verifichi un’espansione, ossia quando Vf è maggiore di Vi, negativo in caso di compressione.
Come rappresentarla su un grafico
Per rappresentare una trasformazione isoterma sul piano cartesiano si utilizza un grafico dove si rappresentano in ordinata e in ascissa le due variabili di stato che cambiano. Sulle ordinate la pressione (P) e sulle ascisse il volume(V), procedendo quindi a tracciare l’andamento del processo indicando per ogni punto i valori di P e V.
A questo punto si dovrebbe ottenere il ramo di un’ iperbole equilatera riferita agli asintoti. Gli asintoti sono le rette che approssimano l’andamento del grafico e risultano i due assi cartesiani. Abbiamo precisato che si tratta di un’iperbole equilatera perché fra di loro sono perpendicolari e inoltre le loro misure coincidono.
La relazione grafica fra pressione e volume in una trasformazione isoterma assume questa forma perché le due grandezze sono inversamente proporzionali. Al diminuire della pressione il volume del gas aumenta perché libero di espandersi, mentre quando questa sale il gas viene compresso e quindi occupa un volume inferiore. Considerando gli assi come asintoti possiamo anche dire che se la pressione tende a infinito il volume tenderà a zero, e viceversa.
