Scomporre un polinomio con la regola di Ruffini
In matematica per scomporre i polinomi più complessi e lunghi si utilizza la regola di Ruffini. Si tratta di un metodo utile quando non si può ricorrere a un prodotto notevole, e per utilizzarla occorre che il polinomio da scomporre abbia un grado uguale o superiore a 2.
Con Ruffini, dato un polinomio di grado n, si ottengono infatti due fattori. Uno di grado n – 1 più un secondo polinomio di grado 1.
Bisogna precisare però che questo metodo non funziona per tutti i polinomi. Avremo modo di approfondire in seguito questo aspetto, senza far mancare qualche esempio.
Come funziona la regola di Ruffini
Prendiamo un polinomio di grado superiore a 2 come x3 + x2 + x – 3. Per prima cosa bisogna concentrare la propria attenzione sul termine noto, ovvero -3, ed elencare tutti i suoi possibili divisori. Vale a dire -1, +1, -3 e + 3. A questo punto bisogna trovare quale di questi valori può annullare il polinomio che stiamo considerando, sostituendoli tutti alla x.
Partiamo da +1, facendo quindi 13 + 12 + 1 – 3 = 1 +1 + 1 – 3 = 0. Il fatto che il risultato ottenuto sia zero significa che x3 + x2 + x – 3 è divisibile per il binomio x – 1 (cambio il segno al valore considerato). La regola di Ruffini poi procede dividendo il polinomio di partenza per il binomio così trovato costruendo una tabella divisa in più colonne.
All’intero della tabella si scrivono in fila i coefficienti numerici di tutti i termini del polinomio, quindi 1, 1, 1 e infine -3 su una colonna a parte. A questo punto si ricopia il primo coefficiente, e lo si moltiplica per il fattore che annulla il polinomio ( 1 x 1 = 1). Il risultato va sommato al coefficiente successivo, e riportato sotto. Questo numero si moltiplica di nuovo e si procede così finché non si arriva all’ultima colonna.
A questo punto i risultati ottenuti dalle addizioni in colonna saranno i coefficienti del secondo polinomio, di grado n – 1. In ordine saranno 1, 2, 3 e 0 che annulla il termine noto. Così si sarà scomposto x3 + x3 + x2 + x – 3 nei fattori x – 1 e x2 + 2x + 3.
Come si procede con un polinomio con coefficienti pari a zero
Un vantaggio della regola di Ruffini è che può essere applicata anche qualora un polinomio sia incompleto. Prendiamo come esempio il binomio a5 + 32, dove mancano tutti i termini tra i gradi 5 e 0. Come prima si individua il divisore del termine noto che annulla il polinomio, ovvero -2. Infatti facendo (-2)5 + 32 = -32 + 32 = 0. Quindi a5 + 32 si può dividere per a + 2.
A questo punto bisognerebbe inserire i coefficienti numerici dei vari termini all’interno della tabella descritta in precedenza. Dato che occorre indicarli per i termini dal grado n del polinomio per quelli mancanti si inserirà solo 0. In ordine quindi si dovrà scrivere 1 per a5 e 0 per a4, a3, a2 e a. Poi basterà procedere come al paragrafo precedente.
Si dovrà moltiplicare 1 per il fattore che annulla il polinomio e poi fare in ordine le somme algebriche. Dato che 1 x (-2) = -2 i risultati saranno i coefficienti 1, -2, 4, -8 e 16. Quindi a5+ 32 si può scomporre nei fattori a – 2 e a4-2a3 +4a2 -8a + 16. A prima vista si potrebbe andare avanti applicando di nuovo la regola di Ruffini, ma nessuno dei divisori del termine noto annulla il nuovo polinomio.
A cosa fare attenzione quando si usa la regola di Ruffini
- Prima di scrivere i coefficienti numerici in ordine nelle varie colonne della tabella bisogna ordinare il polinomio. Vale a dire scrivere in ordine di grado i suoi termini, e aggiungendo quelli che hanno il coefficiente zero per essere sicuri di non dimenticarli. Ad esempio x4 – 8 andrà scritto x4 +0x3 + 0x2 +0x – 8.
- Per essere sicuri di non aver commesso errori si può eseguire la controprova della regola di Ruffini svolgendo il prodotto fra i due fattori che si ottengono. Proviamo con il caso visto prima con a5+ 32. Risultavano (a4-2a3 +4a2 -8a + 16)(a + 2) =a5 +2a4-2a4 -4a3+ 4a3 -8a2 +8a2 +16a – 16a + 32. Come si vede tutti i termini si annullano tranne a5 e 32.
- Se il polinomio che si deve scomporre non ha il termine noto c’è un modo semplice di aggirare il problema. Bisogna raccogliere tutti i suoi termini per quello che ha l’esponente più basso. Ad esempio 4x3 + 8x2 +3x si può scrivere anche nella forma x(4x2+ 8x + 3), ricavando un’espressione letterale con cui si può usare il metodo di Ruffini.
