Prodotti notevoli: la guida completa con formule e esempi
Cosa sono i prodotti notevoli? Nel campo dei calcoli fra polinomi, una salvezza. Svolgere prodotti e potenze di polinomi può rivelarsi molto lungo. E se l’attenzione cala un attimo durante i passaggi l’errore è immediato. Utilizzando queste formule di calcolo rapido però la vita si semplifica.
Non bisogna dimenticare che possono tornare utili anche per superare alcuni quesiti dei test.
Il primo dei prodotti notevoli. Quadrato di un binomio (somma e differenza)
Meglio partire con il più semplice e diffuso. Tra i prodotti notevoli risulta facile da ricordare. basta fare attenzione ai segni. Si può trovare infatti con binomi composti sia da una somma che da una differenza fra monomi.
Prendendo una somma come a + b, al quadrato si ha (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Per esteso, il quadrato di un binomio è uguale a:
- il quadrato del primo termine, ossia a.
- il doppio prodotto del primo e del secondo termine, cioà 2(a x b).
- Il quadrato del secondo termine.
Per la differenza la regola è uguale, cambia il segno del doppio prodotto.
(a – b)2 = a2 -2ab + b2. Un esempio può essere (4c – 6d)2 = 16c2 – 48cd + 36d2
La differenza di quadrati
Tra i prodotti notevoli è il più difficile da riconoscere. Si ha quando in certi casi dove due binomi si devono moltiplicare fra loro. La condizione è che il primo binomio è la somma fra due monomi e il secondo la differenza fra gli stessi monomi.
La formula di calcolo rapido è (a + b) (a – b) = a2 – b2. Infatti se si svolge il calcolo per intero i termini +ab e -ab si annullano fra loro.
La regola estesa è la seguente. Il prodotto e la differenza fra due monomi è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine.
Ecco un esempio. (1/2c + a) (1/2c – a) = 1/4c2 – a2.
Occorre fare attenzione quando lo si trova in un’espressione. Nelle operazioni consequenziali è facile trascurarlo.
Quadrato di un trinomio
Il più lungo da calcolare dei prodotti notevoli ma molto semplice. Segue la stessa regola del quadrato del binomio, con un termine in più.
Avendo come trinomio a + b + c, allora (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac. Nel caso il trinomio abbia delle differenze e non delle somme cambia qualche segno. (a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac .
Per mettere in forma scritta il tutto, il quadrato di un trinomio è dato da:
- il quadrato del primo, del secondo e del terzo termine.
- il doppio prodotto del primo e del secondo termine, il doppio prodotto del secondo e del terzo termine e il doppio prodotto del primo e del terzo termine.
Altro che il binomio! Ecco un esempio:
(3d – 2b – c)2 = 9d2 + 4b2 + c2 – 12db + 4bc – 6dc.
Cubo di un binomio
Il cubo è facile dimenticarselo fra i prodotti notevoli. Non è tra i più immediati da calcolare perché richiede attenzione nei passaggi.
Il calcolo rapido è il seguente:
- nel caso il binomio sia una somma, (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 .
- nel caso sia una differenza, (a – b)3 = a3 – 3 a2b + 3 ab2 – b3.
Come esempio possiamo vedere (1/3 a + 2b)3 = 1/27 a3 + 2/3 a2b + 4 ab2 + 8b3.
Per la differenza (5c – 2b)3 = 125c3 – 150c2b + 60cb2 – 8b3.
Prodotti notevoli: somma e differenza di due cubi
Ecco un esempio. 27c3 – 125b3 = (3c – 5b)(9c2 + 15bc + 25b2) .
