Prodotti notevoli: la guida completa con formule e esempi
Cosa sono i prodotti notevoli?
Nel campo dei calcoli fra polinomi, una salvezza. Svolgere prodotti e potenze di polinomi può rivelarsi molto lungo. E se l’attenzione cala un attimo durante i passaggi l’errore è immediato. Utilizzando queste formule di calcolo rapido però la vita si semplifica.
I prodotti notevoli sono formule con cui calcolare le potenze dei polinomi e dei prodotti tra polinomi, essenziali per semplificare la loro scomposizione.
Non bisogna dimenticare che possono tornare utili anche per superare alcuni quesiti dei test riguardanti medicina, veterinaria e professioni sanitarie..
Il primo dei prodotti notevoli: quadrato di un binomio (somma e differenza)
Meglio partire con il più semplice e diffuso. Tra i prodotti notevoli risulta facile da ricordare, basta fare attenzione ai segni. Si può trovare infatti con binomi composti sia da una somma che da una differenza fra monomi.
Prendendo una somma come a + b, al quadrato si ha (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
Per esteso, il quadrato di un binomio è uguale a:
- il quadrato del primo termine, ossia a
- il doppio prodotto del primo e del secondo termine, cioè 2(a x b)
- Il quadrato del secondo termine
Per la differenza la regola è uguale, cambia il segno del doppio prodotto.
(a – b)2 = a2 -2ab + b2.
Un esempio può essere (4c – 6d)2 = 16c2 – 48cd + 36d2
La differenza di quadrati
Tra i prodotti notevoli, la differenza di quadrati è il più difficile da riconoscere. Si ha quando in certi casi dove due binomi si devono moltiplicare fra loro.
La condizione è che il primo binomio è la somma fra due monomi e il secondo è la differenza fra gli stessi monomi.
La formula di calcolo rapido è (a + b) (a – b) = a2 – b2. Infatti se si svolge il calcolo per intero i termini +ab e -ab si annullano fra loro.
La regola estesa è la seguente.
Il prodotto e la differenza fra due monomi è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine.
Ecco un esempio: (1/2c + a) (1/2c – a) = 1/4c2 – a2
Occorre fare attenzione quando lo si trova in un’espressione. Nelle operazioni consequenziali è facile trascurarlo.
Quadrato di un trinomio
Il più lungo da calcolare dei prodotti notevoli ma molto semplice. Segue la stessa regola del quadrato del binomio, con un termine in più.
Avendo come trinomio a + b + c, allora (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
Nel caso il trinomio abbia delle differenze e non delle somme cambia qualche segno. (a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac .
Per mettere in forma scritta il tutto, il quadrato di un trinomio è dato da:
- il quadrato del primo, del secondo e del terzo termine
- il doppio prodotto del primo e del secondo termine, il doppio prodotto del secondo e del terzo termine e il doppio prodotto del primo e del terzo termine
Altro che il binomio! Ecco un esempio:
(3d – 2b – c)2 = 9d2 + 4b2 + c2 – 12db + 4bc – 6dc
Cubo di un binomio
Il cubo è facile dimenticarselo fra i prodotti notevoli. Non è tra i più immediati da calcolare perché richiede attenzione nei passaggi.
Il calcolo rapido è il seguente:
- nel caso il binomio sia una somma, (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
- nel caso sia una differenza, (a – b)3 = a3 – 3 a2b + 3 ab2 – b3
Il cubo di un binomio è pari al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo prodotto del quadrato del secondo termine per il termine più il cubo del secondo termine.
Come esempio possiamo vedere
(1/3 a + 2b)3 = 1/27 a3 + 2/3 a2b + 4 ab2 + 8b3.
Per la differenza
(5c – 2b)3 = 125c3 – 150c2b + 60cb2 – 8b3.
Prodotti notevoli: somma e differenza di due cubi
Il tutto si può riscrivere nel seguente modo. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2).
Per la differenza si tratta del prodotto della differenza delle basi per il falso quadrato.
Ecco un esempio.
27c3 – 125b3 = (3c – 5b)(9c2 + 15bc + 25b2)
Le formule più importanti dei prodotti notevoli
Le formule dei prodotti notevoli risultano estremamente utili per eseguire con precisione i calcoli durante gli esercizi, i problemi in classe, le interrogazioni e in particolare i quiz nei test di ammissione alle Università a numero chiuso.
Ecco la sintesi delle formule più importanti dei prodotti notevoli:
Prodotto tra due binomi
- (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
- (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Quadrato di un binomio
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a – b)² = a² – 2ab + b²
Cubo di un binomio
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Differenza di quadrati
- a² – b² = (a + b)(a – b)
- a² – b² = (a + b)(a – b)
Prodotto di un trinomio per un binomio
- (a + b + c)(d + e) = ad + ae + bd + be + cd + ce
- (a + b + c)(d + e) = ad + ae + bd + be + cd + ce
Quadrato del trinomio
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Cubo del trinomio
- (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc
