Proprietà delle potenze: definizioni, formule ed esempi
In aritmetica come in algebra è fondamentale conoscere le proprietà delle potenze. Si tratta di regole da applicare nelle espressioni o nei calcoli dove compaiono numeri elevati a un determinato esponente. Utilizzandole è possibile risolverle in modo più rapido e intuitivo anziché calcolare le singole potenze arrivando a usare numeri elevati.
Tali proprietà possono essere utili anche in questioni più pratiche come i calcoli necessari in problemi di fisica o di chimica. Capita spesso quando si ha a che fare con le costanti espresse in notazione scientifica.
Proprietà delle potenze: prodotto (stessa base ed esponenti diversi)
Partiamo da una regola molto semplice e che riguarda i calcoli dove ci si trova a dover moltiplicare numeri o espressioni con la stessa base ed esponente diverso. Per definizione il prodotto di potenze con la stessa base ha come risultato per base la stessa espressione o numero e per esponente la somma degli esponenti.
Vediamo di scrivere la prima delle proprietà delle potenze come formula per rendere il tutto più intuitivo:
an x am = an+m. In cui:
–a è il numero o l’espressione algebrica (es. 1, ab…)
–n e m sono gli esponenti.
Adesso è meglio passare a qualche esempio pratico. Partiamo con uno numerico come 44 x 411. Come si vede ci ritroveremmo con cifre molto grandi tra cui fare l’operazione e senza calcolatrice potrebbe essere un problema. Usando la proprietà però basta scrivere come base sempre 4 e come esponente sommare fra loro 4 e 11. Il risultato è quindi 44 + 411 = 415.
Quoziente (stessa base ed esponenti diversi)
Passiamo ora alla seconda proprietà delle potenze, quella relativa alle divisioni. Per definizione il quoziente di potenze aventi la stessa base ha come risultato per base la stessa base e per esponente la differenza fra gli esponenti. Si tratta come si vede dell’inverso rispetto alla regola precedente, come moltiplicazione e divisione sono operazioni opposte.
Riscrivendo tale proprietà come formula si ottiene quanto segue:
bn : bm = bn-m
Anche in questo caso è bene passare a un esempio per mostrare come usare questa proprietà delle potenze. Prendiamone uno algebrico come c9 : c2. In questo caso come sempre si riscrive la base c e all’esponente si esegue la sottrazione fra 9 e 2. Il risultato sarà dunque c9 : c2 = c7.
Spingendoci un po’ oltre si possono provare ad applicare entrambe le regole viste finora con l’espressione a8 : a6 x a4. Come sempre si eseguono le operazioni nell’ordine scritto, prima la divisione e poi i prodotto. Quindi si avrà a8-6+4 = a6.
La potenza di potenza
La formula generica risulta la seguente: (cn)m., ma si può avere anche [(cn)m]p eccetera. La definizione dice che il risultato di questa espressione è una potenza che ha come base la stessa e come esponente il prodotto fra quelli presenti.
Vediamo un esempio semplice per capire meglio, come (43)7. Mentre nel prodotto avremmo sommato fra loro 3 e 7 in questo caso facciamo la moltiplicazione. Così viene 43×7 = 421.
Se ci sono altri esponenti secondo questa proprietà delle potenze si procede dall’interno verso l’esterno con le moltiplicazioni. Ad esempio avendo [(34)3]5 basta fare una moltiplicazione in più quindi 34x3x5= 360.
Proprietà delle potenze: esponenti diversi (prodotto)
Esponenti diversi (quoziente)
an : bn = (a : b)n.
Per vedere un esempio numerico possiamo prendere il calcolo 456 : 56 . Per rendere più semplice il calcolo possiamo mantenere l’esponente e fare la divisione fra le due basi. Quindi scrivere (45 : 5)6 = 96.
All’interno di un’espressione
A questo punto dopo aver visto le proprietà delle potenze è ora di provare ad applicarle insieme. Prendiamo una semplice espressione:
(83: 23)6 : 44
Per prima cosa possiamo applicare la regola per il quoziente di potenze con lo stesso esponente. Otteniamo quindi [(8 : 2)3]6 : 44 . Da cui (43)6 : 44. A questo punto si può applicare la regola della potenza di potenza e fare il prodotto fra i due esponenti del 4. Si ottiene così 418 : 44.
Rimane da applicare l’ultima proprietà, quella per il quoziente le potenze con la stessa base. Si mantiene il 4 come base e si fa la differenza fra gli esponenti, e il risultato è 418-4 = 414.
