Calcolo combinatorio: disposizioni, combinazioni e permutazioni
Quando si usa il calcolo combinatorio si cerca di determinare il numero di combinazioni in cui si può raggruppare un numero finito di elementi. Finché questa cifra è bassa non è difficile stabilire in quanti modi si possano associare (secondo regole fissate). Tuttavia quando aumenta il loro numero diventa difficile stimarlo senza usare precise formule.
Usare questo sistema di calcolo statistico permette di evitare l’errore di contare ripetizioni nelle combinazioni e di non tralasciarne nessuna. Lo si può usare anche per determinare quale sia il numero di esiti possibili di un esperimento o di una prova senza doverli sperimentare tutti empiricamente. Per chi svolge ricerca è fondamentale conoscerlo.
Quali tipologie di disposizioni prende in considerazione il calcolo combinatorio
Ci sono due disposizioni che possono assumere gli elementi considerati in questo sistema di calcolo. Per definire ciascuna useremo n per indicare il numero di oggetti o eventi da considerare nel caso singolo:
- Disposizioni semplici. Per definizione si dice che il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti di un raggruppamento k, è uguale al prodotto di k numeri interi consecutivi decrescenti dei quali il primo è n. Il simbolo che indica questa tipologia di calcolo è Dn,k e la formula da usare è Dn,k = n!/(n-k)!.
- Disposizioni con ripetizione. Questa tipologia di calcolo combinatorio prevede delle condizioni diverse dal sistema precedente. Due combinazioni sono ritenuti diversi anche se contengono gli stessi elementi di un altro ma disposti in una maniera diversa. In più uno stesso oggetto può figurare più volte secondo una quantità fissata. La formula è D’n,k = nk.
Come esempio di una disposizione semplice consideriamo una situazione con n = 7 e k = 3 ossia D7,3.
Il calcolo da fare è 7!/(7-3)! e applicando il calcolo fattoriale si ottiene (7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1)/(4 x 3 x 2 x1) che semplificato diventa 210.
Per quanto riguarda invece le disposizioni con ripetizione invece supponiamo di avere un totale di cinque elementi del raggruppamento pari a tre. Applicando la formula si ottiene D’5,3 = 53 = 125.
Le tipologie di combinazioni che si possono incontrare
Il calcolo combinatorio torna utile anche quando si trovano casi diversi dalle disposizioni. Per esempio le combinazioni, che differiscono poiché non tengono conto dell’ordine in cui si dispongono gli elementi. In questo caso due raggruppamenti di oggetti si considerano diversi solamente quando differiscono fra di loro per almeno un elemento.
Per indicare le combinazioni utilizziamo il simbolo Cn,k e ne esistono due tipologie:
- Combinazioni semplici. Si originano raggruppando elementi distinti senza considerare il loro ordine di presentazione. La formula da utilizzare per trovare tutte le combinazioni è Cn,k = Dn,k/Pk. Si può anche dire che si tratti del coefficiente binomiale di n su k e trovarle con Cn,k = n!/k!(n – k)!.
- Combinazioni con ripetizione. In questo caso il calcolo combinatorio considera come per le disposizioni che uno stesso elemento può essere ripetuto più volte. Poiché non si considera l’ordine però due raggruppamenti sono considerati diversi fra loro quando questa ripetizione differente per numero fra uno e l’altro. La formula da usare è Cn,k = (n + k – 1)!/k!(n – 1)!.
Per questo tipo di calcoli quando i valori di n e di k sono molto alti ormai si usa da tempo il software di statistica computazionale R. Volendo fare un esempio di combinazione con permutazione avendo n = 7 e k = 3 userò C7,3 = (7 + 3 – 1)!/3!(7 – 1)! = 9!/3!6!.
Il calcolo combinatorio e le permutazioni
Esistono tre tipi di permutazioni nel calcolo combinatorio:
- Permutazioni semplici. Per definizione si può dire che per il numero di questi raggruppamenti di n elementi distinti è dato dal
fattoriale del numero n, ossia n!. In un esempio prendiamo come elementi le lettere di una parola come PORTA. Le permutazioni possibili sono tutte le parole ottenibili associandole in ordine diverso, come PARTO.
- Permutazioni con ripetizione. Anche in questo caso considero tutti gli n elementi senza formare sottogruppi ma ogni oggetto può essere ripetuto più volte. La formula da utilizzare in questo caso è Pnn1,n2,n3= n!/n1!n2!…
- Permutazione circolare. Come dice il nome i raggruppamenti di questo tipo avvengono in modo circolare in modo che non si possa determinare quale siano la prima e l’ultima posizione. La formula da utilizzare è Pnc = (n – 1)!.
