Il principio di sovrapposizione in fisica
Quando si nomina il principio di sovrapposizione ci si riferisce a un concetto che si incontra sia in Matematica che in Fisica. Se ci limitiamo all’ambito matematico si tratta di una proprietà algebrica che vale per i sistemi di equazioni lineari. Vale a dire che se esistono più soluzioni al sistema ogni combinazione lineare delle stesse è ancora una soluzione del sistema.
Possiamo perciò estendere questo concetto in Fisica a tutti i sistemi che si possono descrivere utilizzando delle equazioni lineari. Lo si utilizza per esempio nello studio della propagazione delle onde, siano esse sonore, elettromagnetiche ecc. Il principio si usa anche in Meccanica Quantistica, ovvero la branca che studia i fenomeni fisici in campo atomico e subatomico.
Il principio di sovrapposizione delle onde
Partiamo da quella che è l’applicazione più comune di questa regola, ovvero le onde. In questo ambito spiega che cosa succede quando due o più onde della stessa natura che si propagano all’interno dello stesso mezzo si sovrappongono in un punto. Nel momento in cui questo avviene si genera una perturbazione che è pari alla somma algebrica delle oscillazioni delle due onde singole.
Se pensiamo al caso delle onde sonore possiamo capire cosa si intende per perturbazione pensando a quando si ascolta un gruppo o un’orchestra che suona. Invece di sentire un rumore indistinto si sente la melodia prodotta da ciascuno strumento, o meglio un suono complessivo prodotto dal sommarsi di quelli singoli.
Possiamo applicare il principio di sovrapposizione anche alle onde elettromagnetiche o ai fasci di luce. Rimane valido sia quando si propagano attraverso un mezzo che quando viaggiano nel vuoto, come avviene per esempio alle radiazioni nello spazio. Basta pensare anche a un semplice esempio come due impulsi che viaggiano lungo la stessa corda facendola oscillare.
Il fenomeno della sovrapposizione ci mostra quando è diversa l’interazione che si ha fra le onde messe a confronto con quelle che avvengono tra i corpi fisici. Se due oggetti si incontrano nello stesso punto hanno ciascuno degli effetti sulla traiettoria dell’altro oltre che sulla sua velocità, diventando di fatto un ostacolo.
Il fenomeno espresso in formula
Dopo aver descritto in modo esteso gli ambiti di applicazione del principio di sovrapposizione delle onde vediamo come descriverlo con una formula. Partiamo considerando due onde che si propagano all’interno dello stesso mezzo e che indicheremo con ψ1 e ψ2.
Le loro formule saranno ψ1 = Acos(kx – ωt + φ1) e ψ2 = Acos(kx – ωt + φ2).
Se queste due onde si sovrappongono in un punto possiamo ricavare l’equazione dell’onda che ne risulta sommando le loro equazioni. Il risultato si scrive ψ1 + ψ2 = 2Acos(φ1 – φ2/2) x cos[kx – ωt + (φ1 + φ2)/2]. Si tratta delle formule di prostaferesi relative ai coseni, ma a volte si trovano anche le onde espresse in funzione del seno.
Con φ1 e φ2 indichiamo le differenze di fase che distinguono le due onde e che rappresentano il loro sfasamento. Il fatto che questo sia presente permette la somma delle onde data dal principio di sovrapposizione, e quindi genera l’interferenza costruttiva. Quando abbiamo onde in opposizione di fase fra le onde si parla invece di interferenza distruttiva in quando le onde finiscono con l’annullarsi.
Il risultato di questa particolare interferenza a livello grafico non si presenta più come un’onda ma si rappresenta con una linea piatta. In modo più tecnico possiamo dire che l’onda risultate ha un’ampiezza finale pari a zero. Questo effetto torna utile perché è alla base della progettazione delle cuffie con la cancellazione attiva del rumore.
Esercizio sul principio di sovrapposizione fra due onde
Vediamo innanzitutto che le due onde che stiamo esaminando hanno lo stesso valore di pulsazione (ω = 10π) oltre che lo stesso valore di ampiezza (A = 0,3). Inoltre è evidente che la seconda onda y2 ha uno sfasamento rispetto alla prima, e coincide con l’addendo presente nell’argomento del coseno (π/4).
Applicando il principio di sovrapposizione l’onda che risulterà dalla sovrapposizione di y1 e y2 avrà come equazione y = Acos(ωt + φ/2). Possiamo ora ricavare l’ampiezza dell’onda risultate dalla formula 2Acos(φ/2) = 2 x 0,3 x cos(π/8) = 2 x 0,3 x 0,92 = 0,55. L’equazione dell’onda che deriva dall’interferenza avendo anche l’ampiezza ora è facile da ricavare. Semplificando otterremo infatti y = 0,55cos(10πt + π/8).
Per capire quando siamo di fronte a un’interferenza distruttiva ci basta guardare il valore dello sfasamento. Se questo è pari a π o a un suo multiplo dispari (3π, 5π, 7π ecc.) allora quando calcoleremo φ/2 otterremo multipli di π/2, che ha sempre coseno uguale a zero.
