Moto circolare uniforme, definizione
In fisica solitamente viene abbreviato con MCU. Si tratta del moto che un punto materiale compie a velocità costante in rotazione lungo una traiettoria circolare. Il cerchio immaginario che il corpo percorre è descritto dal suo movimento, non c’è un inizio e una fine.
Il fatto che si compia a velocità costante lo rende analogo al moto rettilineo uniforme, su traiettoria di forma differente.
Dato che si muove con velocità uniforme, il corpo in esame percorrerà archi uguali in tempi uguali. Per arco si intende la porzione del cerchio immaginario che il corpo descrive durante il suo moto.
Per fare un esempio pratico di moto circolare uniforme basta pensare alla giostra dei cavalli che appare alle sagre. Ogni elemento della giostra si muove lungo il percorso circolare a velocità prestabilita.
Velocità angolare e velocità tangenziale
Siamo abituati al moto rettilineo uniforme, dove la velocità era data dal rapporto fra lo spazio e il tempo (v = s/t). Nel moto circolare uniforme dobbiamo invece considerare due tipi di velocità: la tangenziale e l’angolare.
La tangenziale è la velocità che il corpo ha lungo la tangente alla circonferenza nel punto in cui si trova. Se lo spostamento è uniforme allora è pari alla velocità media del corpo. Si calcola perciò come rapporto fra lo spazio percorso durante un giro completo e il tempo impiegato a compierlo. Si misura in m/s.
Trattandosi di un percorso circolare allora avremo lo spazio pari a 2πr (la misura della circonferenza descritta). il tempo impiegato a percorrere un giro completo invece è denominato periodo e il suo simbolo è la T. Si misura in secondi (s).
La velocità tangenziale sarà quindi v = 2πr/T. Appare più complessa, ma è sempre il rapporto spazio/tempo.
La velocità angolare invece considera l’angolo contenuto nell’arco descritto durante il moto. Ogni arco infatti ha un proprio ancolo al centro corrispondente nel vertice della traiettoria circolare. Se consideriamo due punti sul cerchio lungo cui si muove i corpo e li congiungiamo con il centro, abbiamo un angolo.
La velocità angolare è definita come il rapporto fra l’angolo (Δα) descritto nell’intervallo Δt e l’intervallo di tempo stesso. Si indica con la lettera greca ω (omega) e quindi si ha: ω = Δα/Δt. Convenzionalmente si scrive 2π/T. Si misura in radianti al secondo, rad/s.
Queste sono le due formule fondamentali del moto circolare uniforme.
La frequenza
Abbiamo detto che nel moto circolare uniforme il tempo impiegato a compiere un giro completo si chiama periodo. Dal periodo è possibile ricavare anche un’altra misura fondamentale in questo fenomeno. Parliamo della frequenza, definita come il numero di volte in cui la traiettoria circolare viene percorsa in un secondo, ossia in un tempo prestabilito.
Il simbolo della frequenza è f e la sua formula è f = 1/T. Si tratta perciò della grandezza reciproca del tempo. L’unità di misura della frequenza è l’hertz, una delle grandezze del Sistema Internazionale delle misure.
Volendo si può scrivere la velocità tangenziale anche in funzione della frequenza. La formula diventerà perciò v = 2πrf. Abbiamo sostituito f a 1/T.
Quando consideriamo la velocità angolare, possiamo ricavarla con la frequenza secondo la formula ω = 2πf.
Nel moto circolare uniforme occorre molta attenzione alle formule inverse, che ora vedremo.
Formule inverse
Passiamo al nemico peggiore di ogni studente. Il calcolo delle formule inverse, riadattare la formula principale alle proprie esigenze.
Immaginiamo di dover calcolare il periodo sapendo la velocità tangenziale e il raggio della traiettoria circolare descritta. Per rendere il tutto più concreto, fissiamo la velocità a 3,9 m/s e il raggio a 5m.
La misura della circonferenza percorsa è data da 2πr quindi 2 x 3,14 x 5 = 31,4 m.
Partendo dalla formula v = 2πr/T dovremo fare v/2πr = 1/T e quindi T = 2πr/v. Nel nostro esempio T = 31,4/3,9 = 8 s.
Nel caso della velocità angolare invece per trovare il periodo basta fare 2π/ω. Infatti se ω = 2π/T allora ω/2π = 1/T…
Mettiamo il caso di avere una velocità angolare di 25 rad/s. Se vogliamo trovare il periodo basta fare 2π/25 ossia 6,18/25 = 0,2 secondi.
Passare da velocità tangenziale ad angolare
La relazione che esiste tra le due velocità del moto circolare uniforme è nella formula ω = v/r. In pratica velocità tangenziale fratto raggio della circonferenza. Possiamo anche scriverla partendo dalla velocità tangenziale, ossia v = ωr.
Per comprendere questa relazione è sufficiente impostare la proporzione 2πr : v = 2π : ω. Guardando le due formule infatti vediamo che 2πr e 2π sono i numeratori dei rapporti che servono a ricavare le due velocità. Il denominatore è comune e corrisponde al periodo T. Possiamo quindi non considerarlo facendo l’equivalenza.
Se volessimo ricavare v dalla proporzione basterebbe sfruttare la proprietà fondamentale. Quindi:
v = 2πr x ω/2π. Possiamo semplificare dividendo numeratore e denominatore per 2π. L’equazione diventa quindi v = ωr.
Supponiamo di avere un cestello della lavatrice di raggio 30 cm (0,3m) e di sapere che la velocità tangenziale è pari a 7,4m/s. Per ricavare la velocità angolare è sufficiente fare v/r, quindi 7,4/0,3 = 24,72 rad/s.
