Logaritmi: guida completa con esempi per risolverli
I logaritmi sono elementi imprescindibili in matematica, ma non solo. Ad esempio il calcolo del pH in chimica come altre formule legate alla dinamica delle reazioni ne prevedono l’utilizzo. Per questo imparare a calcolarli è fondamentale, oltre che più semplice di quanto non si pensi.
Cosa sono i logaritmi: definizione
Il logaritmo è un operatore matematico la cui formula base si indica con logab. Per definizione si tratta di quel numero detto c che se utilizzato come esponente per la base a (scritta come pedice) fornisce come risultato b. Il numero b è detto argomento del logaritmo.
Per definire il logaritmo si può dire anche che fornisce il numero c che soddisfa l’uguaglianza ac = b. Riscrivendo il tutto come formula logab è c tale che ac = b. Il numero c è detto valore del logaritmo.
Alcuni affermano che si tratti dell’operazione inversa dell’elevamento a potenza. In realtà però questa denominazione potrebbe applicarsi all’estrazione delle radici (quadrate o superiori). Il logaritmi forniscono l’esponente e basta. Se b è una radice di a, il valore del logaritmo sarà negativo.
Una condizione necessaria per il logaritmo prevede che sia a che b siano positivi e maggiori di zero. Ciascuno implica la positività dell’altro. Se eleviamo un numero positivo qualsiasi (a) a un valore qualsiasi (c) si avrà sempre e comunque una quantità positiva (b).
Inoltre per ovvi motivi la base a deve essere diversa da 1. In formula, a > 0 e a ≠ 1. Infatti se la base fosse uno b sarebbe sempre uguale a 1 per qualsiasi c.
Qualche esempio
Vediamo alcuni logaritmi semplici per capire il meccanismo di calcolo. Partiamo con un mini trabocchetto, loga1. Per risolverlo occorre ricordare una regola dell’elevamento a potenza. Qualsiasi numero elevato con esponente 0 dà come risultato uno. Perciò loga1 = 0.
Passando a quelli più canonici possiamo trovare logaa8 = 8, oppure log464, dato che 64 si ricava elevando 4 alla seconda il valore sarà 2.
L’argomento b del logaritmo però può essere anche un binomio o un polinomio. Ad esempio loga+b(a + b)6 . Anche qui basta prendere l’esponente, senza calcolare nulla il risultato è 6.
Formule inverse. Conosco c ma…
Con i logaritmi trovare il valore una volta compreso il meccanismo la strada è in discesa. Ma se invece l’incognita fosse la base o l’argomento? Come si potrebbe fare? No, non disperarsi. Solo ragionare con ciò che già si conosce.
Se sono noti il valore del logaritmo e la sua base, quindi c e a, trovare b è un passaggio semplicissimo. Basta ricordare l’uguaglianza vista all’inizio, ossia ac = b. L’operazione c he andremo a fare quindi sarà un semplice elevamento a potenza della base con esponente il valore del logaritmo.
Ad esempio, indicando l’argomento b non noto con l’incognita x, possiamo trovare log5X = 3. 5 è la base e 3 l’esponente. La quantità b sarà quindi ricavabile facendo 53 = 125. Oppure loga+dX = 5, dove è ancora più immediato. In questo caso b sarà (a + d)5.
E per trovare la base, a? Se per ricavare b si doveva ricorrere ad un elevamento a potenza, qui è esattamente il contrario, Bisogna infatti estrarre la radice avente come indice c, il valore del logaritmo. La formula inversa ricavabile da ac = b infatti è la radice con indice c della quantità b.
Per vedere un esempio, avendo logx(a + d)4 = 4, per trovare la base (qui indicata con x) deveo estrarre la radice quarta di (a + d)4 . Oppure logx81 = 4, la radice quarta di 81 fornisce la base 3.
Logaritmo naturale e il numero di Nepero
I logaritmi più comuni con cui ci si trova ad avere a che fare sono quello decimale, log10 e ln, detto logaritmo naturale. Il secondo in particolare richiede particolare attenzione per la sua base, che è una costante fondamentale in matematica. Il suo nome è numero di Nepero.
Viene indicata con la lettere e ed ha valore 2,71828182845….esiste addirittura una filastrocca per memorizzare le prime cifre dopo la virgola. Il testo lo riportiamo di seguito.
Ai modesti e valorosi, ai violenti e timorosi,
do cantando gaio ritmo, logaritmo.
Se si contano le lettere di ogni parola della filastrocca si ottengono le cifre una dopo l’altra. Ai = 2 e poi quelle che seguono dopo la virgola, modesti = 7, e =1…e così via. Un modo simpatico e rapido per tenere a mente la costante.
Il valore in funzione della base
Costruendo il grafico su piano cartesiano, useremo come variabile indipendente (x) l’argomento e come variabile dipendente (x) il valore c. La base deve sempre soddisfare le condizioni per cui è diversa da 1 e maggiore di 0. Quindi essenzialmente avremo due casi di studio:
- base maggiore di 1 (a > 1). Il grafico ottenuto sarà una curva crescente. Infatti man mano che l’argomento b aumenta allora anche c sarà sempre più grande. Prendendo una base a caso, ad esempio il 2, se l’argomento aumenta facendo 4, 8, 16…vuol dire che il suo esponente aumenta di pari passo.
- base compresa fra 0 e 1, estremi esclusi (0 < a < 1). In questo caso la curva sarà discendente. In questo intervallo infatti se l’argomento aumenta di valore l’esponente dovrà diminuire. Ad esempio se la base è 1/2, allora con 1/4 il valore c sarà 2, con 1/8 sarà 3…ma l’argomento diminuisce sempre di più.
