logaritmi definizione spiegazione di proprietà

Logaritmi: definizione e spiegazione proprietà

In matematica un operatore ricorrente negli integrali e negli studi di funzione è costituito dai logaritmi. Da profani per definirlo in maniera semplice potremmo dire che si tratta dell’inverso del calcolo delle potenze. Non è un operatore utilizzato solo in astratto, ma è fondamentale ad esempio per alcune formule di chimica.

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Definizione dei logaritmi

I logaritmi sono operatori matematici indicati come formula grezza con loga(b) = c. In questa formula:

  • Innanzitutto la lettera a è detta base del logaritmo ed è sempre un numero reale positivo.
  • La lettera b è l’argomento del logaritmo ed è sempre un numero reale positivo.
  • La lettera c è il valore del logaritmo.
Ma cosa rappresenta c? Come si accennava prima, il logaritmo è legato alle potenze. Il valore del logaritmo è l’esponente da dare alla base per avere l’argomento del logartirmo stesso.
 
Per essere più chiari: ac = b. Dal risultato dell’elevamento a potenza di un numero torniamo indietro. Calcoliamo l’esponente conoscendo la base di partenza del calcolo.
 
Un qualsiasi numero positivo (a) elevato a una potenza qualsiasi (c) dà come risultato sempre e solo un numero positivo (b). Questo spiega  come mai sia base che argomento debbano avere il segno “+”. Uno è conseguenza dell’altro.
 

Il logaritmo naturale

Tra i logaritmi merita un’attenzione particolare quello che è definito logaritmo naturale. Anziché avere come base un numero indicato con il simbolo arabo presenta infatti il valore e. Il logaritmo naturale è definito per ogni valore reale e positivo ma anche per i numeri complessi. Oltre che essere anch’esso utilizzato in formule chimiche e fisiche.

Il simbolo di questo operatore sarebbe comunque log in matematica ( loge  in questo caso ) ma solitamente si indica anche con ln.

Tornando al valore di e, si tratta è una costante matematica per convenzione fissata a dodici cifre, 2,718281828459.

Calcolo del logaritmo

 La base del logaritmo elevata al suo valore dà l’argomento. Questo è quanto ci basta per calcolare i logaritmi più semplici. Il procedimento esiste già nella definizione.
 

Prendiamo ad esempio logcc4

 Il risultato è 4. Basta infatti una semplice verifica. Se logcc4  = 4 allora anche ( c )4 = c4 . Come si era visto prima, ac = b.

La stessa regola vale anche per i logaritmi dei polinomi. Se abbiamo  loga+b(a + b)6 il valore è uguale a 6.
 

Le proprietà dei logaritmi: scrittura alternatica, prodotto e rapporto

 
Quando si studia un nuovo elemento matematico, occorre essere molto attenti alle sue proprietà. Come per le potenze, anche questi elementi ne hanno diverse. Queste permettono di svolgere i calcoli dove l’operatore è presente e non si possono trascurare.
 
  1. Per i logaritmi la prima è la scrittura alternativa. Quando il valore c viene fissato come loga(b), allora si può anche dire che  alogab = b. Questa formula può tornare utile durante esercizi particolarmente ostici.
  2. Passando alle operazioni con i logaritmi, vediamo la regola del logaritmo del prodotto. Se si incontra

     loga(b x c) allora il risultato sarà logab + logac. Anziché calcolare solo il logaritmo dell’argomenti finale questo si può distribuire su entrambi i fattori.

  3. Quando dobbiamo calcolarlo su un rapporto, ad esempio b/c, la regola è simile. Però anziché diluire il logaritmo su una somma lo facciamo su una differenze. La formula è loga(b/c) = logab – logac.
 
Nel caso del logaritmo del rapporto il minuendo è sempre il numeratore della frazione. Il sottraendo è sempre il denominatore.
 

Proprietà dei logaritmi: regola dell’esponente

Questa regola sembra semplice ma non è da sottovalutare. Si applica nel caso in cui l’argomento del logaritmo abbia a sua volta un esponente. Per continuare il calcolo occorre spostare l’esponente. Questo diventa il coefficiente del logaritmo che stiamo calcolando.
 

La formula utilizzata è loga(b)c = cloga. Un caso molto particolare per quanto riguarda gli esponenti è quando se ne incontrano di negativi, In altre parole, i radicali.

In quel caso il coefficiente da sostituire sarà negativo.

 Se avessimo il logaritmo della radice quadrata di un numero b, la scrittura finale sarebbe – 2logab. E ancora se fosse la radice quadrata di b alla terza, il coefficiente diventerebbe una frazione. Nel caso descritto – 3/2logab.
 

Proprietà dei logaritmi: formula del cambiamento di base.

 Quando si svolgono i calcoli può sempre presentarsi il caso in cui un logaritmo abbia una base “scomoda”. Occorre tenersela senza possinbilità di scampo? Grazie a una delle proprietà dei logaritmi pare di no. Bisogna fare però attenzione ai passaggi richiesti.
 
La formula per il cambio di base è logab = logcb/logca. Tradotto, riscriviamo il logaritmo che ci ostacola come rapporto, il numeratore ha la nuova base e lo stesso argomento e il denominatore è un logaritmo che ha per base la nuova base e per argomento la base precedente.
 
Per fare un esempio semplice di applicazione della regola, se partiamo da log45   alla fine scriveremo log45 = log65/log64.
 
 

Proprietà dei logaritmi: inversione base – argomento

Si tratta di un’alternativa alla proprietà precedente, visto che prevede sempre un cambio della base. Stavolta però anziché sceglierne una casuale si inverte il valore della base con quello dell’argomento. Il passaggio è anche più facile di prima.
 
Si ottiene una frazione che ha al denominatore il logaritmo con la nuova base e al numeratore uno. Ossia logab = 1/logba.
 

Un esempio è log713 = 1/log137.

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Nausicaa Tecchio
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