Il significato di isoperimetrico e di isoperimetria

Il problema isoperimetrico e come è nato 

L’origine di questo termine come insegna la sua etimologia risale all’Antica Grecia.
La Geometria era nata come sistema per suddividere i terreni in modo organizzato, stabilendo delle forme e delle misure precise, o per stimare l’altezza e l’estensione degli edifici. Anche il teorema di Pitagora con molta probabilità era nato con una funzione simile. 

Per ricordare come si arrivò a definire questa condizione si parla in particolare del problema isoperimetrico, ovvero di un errore di concetto da parte dei Greci.
Inizialmente si pensava, contrariamente a quanto già accennato, che le figure che avevano il contorno della stessa misura avessero anche la stessa superficie. Le estensioni dei terreni quindi erano molto diverse usando questo criterio. 

Allo stesso modo per comprendere quanto grande fosse una delle città-stato dell’epoca i soldati si basavano su quanto lunghe fossero le sue mura. Furono i primi geometri a notare che non c’era una corrispondenza fra il perimetro e l’area di una forma, e che quindi questo sistema non era efficace. 

Basta fare un esempio semplice immaginando un quadrato e un rettangolo che hanno il perimetro di 25 cm. Il primo avrà perciò i lati di 5 cm e la sua area si potrà calcolare con la formula l x l, quindi sarà di 25 cm². Il rettangolo invece, supponendo che abbia i lati rispettivamente di 9 e 3,5 cm. La sua area sarà 9 x 3,5 = 31,5 cm².

Che cos’è l’isoperimetria e il caso dei quadrati

Ora che è chiaro cosa si intenda con il termine isoperimetrico passiamo alla condizione di isomeria. Per definizione due figure piane sono isoperimetriche se hanno la stessa misura di perimetro. Se consideriamo ad esempio un quadrato (Q) e un rombo (R) e indicando il loro perimetro con 2p possiamo scrivere 2pQ = 2pR. 

Da questa formula possiamo capire in quale caso due figure isoperimetriche risultino equivalenti di default. Si tratta del caso in cui entrambe le figure siano dei quadrati.
L’area di un quadrato si ricava moltiplicando per sé stessa la misura del suo lato se il perimetro è congruente fra due quadrati anche il loro lato lo sarà. Ma rimane comunque l’unica situazione in cui si evidenza una correlazione. 

Questo caso isoperimetrico si può dimostrare in breve usando la stessa formula vista poco fa, ma considerando due quadrati Q1 e Q2.
La formula sarà quindi 2pQ1 = 2pQ2.
Perciò dato che 2p è uguale a 4 x lato possiamo anche riscrivere l’equazione con 4lQ1 = 4lQ2.
Si può semplificare il 4 che è presente sia a sinistra che a destra dell’uguale lasciando lQ1 = lQ2. 

Per i quadrati vale anche la regola all’inverso. Quindi se due quadrati hanno superfici equivalenti sono anche isoperimetrici. La radice quadrata dell’area del quadrato fornisce la misura del lato, e se sono uguali anche le loro radici avranno lo stesso valore. 

Un esercizio con un poligono isoperimetrico 

Dato che abbiamo già le dimensioni del rettangolo possiamo ricavare facilmente il suo perimetro.
Lo calcoliamo raddoppiando sia la misura della base che dell’altezza che poi sommeremo. Quindi 2p = 2 x (25) + 2 x (13) = 50 + 26 = 76 cm. Abbiamo così la lunghezza del perimetro del rettangolo e anche del rombo visto che è isoperimetrico.

A questo punto visto che il rombo ha tutti i lati uguali possiamo ricavare il suo lato dividendo la misura del perimetro per quattro. Quindi facciamo l = 76/4 = 19 cm. Non avendo le diagonali ma l’altezza possiamo ricavare la sua area facendo l x h = 19 x 20 = 380 cm². Se proviamo a calcolare l’area del rettangolo tra l’altro vediamo che è 25 x 13 = 325 cm², e che non sono equivalenti. 

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