Iperbole: definizione e formule in geometria
L’iperbole è una curva che appartiene all’insieme delle cosiddette “coniche”, che comprende anche circonferenza, ellisse e parabola. Questi quattro luoghi dei punti sono così definiti perché derivano dall’intersezione fra un piano secante e un cono. Sono tutti rappresentabili sotto forma di equazione algebrica.
Vediamo come disegnarla e qual è la sua definizione.
Iperbole, definizione
In geometria analitica per definizione l’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze fra due punti fissi definiti fuochi. Chiamando questi due punti F1 e F2, allora apparterranno alla curva tutti i punti per cui risulta invariato il modulo di |PF1 – PF2|.
Nel piano cartesiano può essere posizionata in vari modi, i più ricorrenti sono tre per la precisione. L’iperbole equilatera, l’iperbole con assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani e centro nell’origine e l’iperbole traslata. Quest’ultima è traslata rispetto all’origine quindi i suoi assi di simmetria risultano paralleli agli assi x e y.
Per definire questa conica tuttavia occorre riferirsi anche a tutti i suoi elementi. Sono di seguito elencati:
- I due rami dell’iperbole, speculari rispetto al centro.
- Gli assi di simmetria e i semiassi.
- I vertici, dove la curva interseca uno degli assi.
- Il centro, dove gli assi di simmetria si intersecano.
- I fuochi, che sono sempre posizionati sull’asse che la curva interseca.
- La distanza e la semidistanza dai fuochi, anche dette focali.
- Gli asintoti dell’iperbole, rette passanti per il centro che i due rami non intersecano mai.
- L’eccentricità, ossia lo “schiacciamento” della curva rispetto agli assi.
- Il semiasse trasverso, la metà della linea che congiunge i due vertici.
L’equazione della conica
L’equazione dell’iperbole “iconica” è (x2/a2) – (y2/b2) = 1 quando interseca l’asse x mentre è (x2/a2) – (y2/b2) = -1 nel caso in cui intersechi l’asse y. In entrambi i casi l’equazione si riferisce alla curva con assi di simmetria coincidenti con quelli cartesiani. Inoltre entrambe le equazioni valgono solo per la condizione in cui a ≠ 0 e b ≠ 0.
Ma cosa sono a e b? Si tratta dei semiassi della curva. Gli assi di simmetria saranno quindi il loro doppio, 2a e 2b. Per trovare i semiassi occorre dunque partendo dall’equazione ricavare la radice quadrata dei denominatori.
Fuochi, semidistanza focale ed eccentricità
Anche i fuochi sono punti fissi, e le loro coordinate si ottengono sempre dalle misure dei semiassi, Come i vertici variano a seconda che l’iperbole intersechi l’asse delle ascisse o delle ordinate, poiché si trovano sull’uno o sull’altro a seconda dei casi.
Quindi F1 (-c;0) ; F2 (+c;0) con c = √a2 + b2 per la curva che interseca l’asse x. Quando si tratta dell’asse y invece le coordinate dei fuochi risultano F1 = (0;-c) ; F2 (0;+c)con c sempre calcolato attraverso la formula √a2 + b2 . Inoltre c = √a2 + b2 è anche la formula per il calcolo della semidistanza focale.
L’eccentricità per un’iperbole è la misura che ne esprime il grado di deformazione e si indica con le lettera e. Per calcolarla occorre svolgere il rapporto tra la semidistanza focale e il semiasse traverso. Varia naturalmente in base all’asse intersecato dalla curva.
Quando la conica interseca l’asse delle ascisse, la sua eccentricità si ricava con e = c/a. Se invece tocca all’asse delle ordinate, allora la formula dell’eccentricità si esprime nella forma e = c/b. Il valore c come prima si ottiene con c = √a2 + b2.
Tanto più il valore di e tende a 1, tanto più il suo “schiacciamento” sarà evidente rispetto all’asse x o y, mentre tale deformazione diminuirà progressivamente al crescere del valore.
