Equazioni: 5 consigli pratici per risolverle

Tra i problemi di matematica che lasciano nel pallone un gran numero di studenti, le equazioni meritano un posto particolare. Vediamo come affrontare le equazioni con cinque consigli pratici per risolverle.

1. Conosci il tuo nemico: cos’è un’equazione?

Il primo suggerimento apparirà scontato, ma per risolverle è senz’altro consigliabile sapere cosa sono e come funzionano. Con le equazioni si risolve una relazione di uguaglianza numerica tra due insiemi di fattori che contengono delle incognite (x, y, z e così via). Sulla base delle diverse relazioni e caratteristiche esistenti tra i due fattori possono esserci equazioni lineari (o di primo grado), quadratiche (o di secondo grado), oppure equazioni funzionali e omogenee.
Il procedimento alla base di un’equazione impone di risolverla, cioè trovare i valori delle diverse incognite in modo congruo rispetto alla relazione di uguaglianza. Vediamo più nel dettaglio come fare.

2. Il principio di equivalenza

Si tratta di una delle regole fondamentali ed è necessario utilizzarla con attenzione per poter affrontare qualsiasi tipo di problema. Il principio di equivalenza comporta che in presenza di un equazione, quando si aggiunge o sottrae ad entrambi i membri un determinato numero si ottiene sempre la medesima equazione. Per fare un esempio, l’equazione 4x + 13 = 28 sarà identica anche nel caso in cui si dovesse scrivere 4x + 13+2 = 28+2.
Un corollario di questo principio sono la regola del trasporto e quella di cancellazione. Per la prima quando si trasporta un termine da un membro all’altro e lo si inverte di segno si ottiene la medesima equazione: così 9x = 12x – 4 equivale a 9x – 12x + 4 = 0. Per la regola di cancellazione, invece, se un’equazione presenta termini uguali in entrambi i membri, è possibile rimuoverli per semplificazione senza alterare l’equazione: così 5x + 7x-3 = 3y-3 sarà uguale a 5x + 7x = 3y.

3. La regola del cambiamento del segno

Oltre al principio di equivalenza, un altro consiglio pratico è quello di ricordare questa regola fondamentale dell’algebra, che ci permette di risolvere tutte le equazioni. Quando ci troviamo di fronte a questo problema, se si cambia il segno a tutti i termini di entrambi i membri si ottiene un’equazione di pari valore. Ad esempio, partendo da 4x – 2x = 1, sarà lo stesso che scrivere – (4x – 2x) = – 1, o ancora 2x – 4x = 1.

4. Intervenire sulle equazioni di primo grado

Si tratta delle tipologie più semplici. In questo caso per poterle risolvere è necessario operare sui singoli membri di un’equazione fino ad arrivare al giusto valore di x. In altri termini, bisogna operare con le operazioni elementari (addizioni, sottrazioni, divisioni e moltiplicazioni) sui diversi membri, così da semplificare l’equazione.
Ponendo come primo esempio l’equazione 2x + 3 = 10, possiamo effettuare una prima semplificazione sottraendo 3 ad entrambi i membri, così ottenendo 2x = 7. A questo punto, se 2x = 7, significa che il valore di x sarà pari alla metà di 7 e cioè x = 7/2.

5. Risolvere le equazioni di secondo grado

Come abbiamo anticipato, si tratta delle equazioni in cui le incognite presentano una potenza al quadrato: ne consegue che il grado massimo per cui può comparire l’incognita sarà sempre 2.
Per risolvere questo tipo di equazioni è necessario ricorrere al teorema fondamentale dell’algebra, secondo cui nelle equazioni di secondo grado le soluzioni sono sempre due.
In questo caso è possibile anche trovare equazioni complete, e cioè equazioni che presentano dei polinomi che presentano coefficienti tutti diversi da zero. Per risolvere si deve ricorrere al metodo di completamento del quadrato, ossia moltiplicare l’equazione fino ad ottenere al primo membro il quadrato del binomio.

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