Ellisse: formula e guida completa per lo studio
L’ellisse fa parte delle curve conosciute con il nome di coniche. Ne fanno parte anche la circonferenza, la parabola e l’iperbole. Il nome di coniche deriva dal fatto che sono definite dall’intersezione di un piano con un cono tridimensionale. Nel caso di questa curva specifica l’inclinazione del piano deve essere maggiore di quella della figura rotante che lo genera.
Definizione di ellisse
L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi chiamati fuochi. Esistono ellissi che hanno il proprio centro nell’origine del piano cartesiano, e altre dette ellissi traslate. Quelle traslate hanno il proprio centro in un punto arbitrario diverso dall’origine (0;0).
Se consideriamo i fuochi chiamandoli F1 e F2 e un punto qualsiasi dell’ellisse P vuol dire che PF1 + PF2 = costante.
Ogni ellisse ha due assi di simmetria che si incontrano nel suo centro. Uno verticale e uno orizzontale, di cui uno è il maggiore l’altro il minore. Se il maggiore è il verticale si estende lungo l’asse y, se è l’orizzontale si estende lungo l’asse x.
Incontrandosi i due assi si dividono in due segmenti uguali, detti semiassi.
Elementi fondamentali: fuochi, vertici, centro…
Equazione della curva con centro nell’origine
Quando l’ellisse in esame ha come centro (0;0) allora la sua equazione è x2/a2 + y2/b2 = 1. I numeri a e b devono essere diversi da 0. Le coordinate x e y di ogni punto della curva soddisfano la relazione indicata.
I coefficienti a e b dell’equazione inoltre rappresentano i semiassi della curva. Per trovare gli assi occorre raddoppiarli, quindi questi saranno 2a e 2b. Per stabilire quale sia l’asse maggiore è sufficiente osservare se sia maggiore a2 oppure b2.
I vertici se il centro è nell’origine hanno sempre una coordinata pari a 0 perché si trovano sugli assi cartesiani. Quelli sull’asse x saranno V1,2 = (±a;0) e quelli sull’asse y invece V3,4 = (0;±b).
I fuochi dell’ellisse invece dipendono dall’asse maggiore. Se è 2a allora avranno come coordinate F1,2 = (±c;0) e c sarà √a2 – b2. Invece se l’asse maggiore è 2b i fuochi avranno come coordinate F1,2 = (0;±c) e c sarà √b2 – a2.
La semidistanza focale è pari a c. Come prima se 2a = asse maggiore allora c = √a2 – b2. Se 2b = asse maggiore allora c = √b2 – a2.
Equazione dell’ellisse traslata
Quando la curva ha un centro diverso dall’origine degli assi occorre adattare le formule di conseguenza. Si definisce C il centro, con coordinate (xc;yc). Dopodiché basta qualche piccola modifica.
L’equazione della curva diventerà (x – xc)2/a2 + (y – yc)2/b2. Le formule degli assi, dei semiassi e della semidistanza focale restano le stesse. Ma in conseguenza dell’equzione anche fuochi e vertici cambiano coordinate.
I quattro vertici dell’ellisse ora non si trovano più sugli assi ma vengono traslati. Per l’asse 2a ci saranno V1 = (xC + a; yc) e V2 = (xc – a;yc) . Per l’asse 2b invece i vertici saranno V3 = (xc;yc + b) e V4 = (xc;yc – b).
Anche i fuochi non saranno più su uno dei due assi. Si troveranno invece sulla retta a cui appartiene anche il punto C. Quindi:
- quando 2a è l’asse maggiore allora F1,2 = (xc±c;yc). Come prima c è dato da √a2 – b2 .
- se 2b è l’asse maggiore allora F1,2 = (xc;yc±c). Il valore di c deriva da √b2 – a2.
Eccentricità, alias deformazione
- Nel caso in cui e = 0 significa che ci si trova di fronte a una circonferenza. Infatti vorrebbe dire che i fuochi convergono nel centro, da cui tutti i punti della circonferenza sono equidistanti. La deformazione sarebbe quindi nulla.
- Il caso opposto vedrebbe e = 1, ossia una deformazione totale. Non si avrebbe più quindi un’ellisse m una linea, un segmento. Questo segmento verrebbe a coincidere con l’asse maggiore e comprenderebbe anche i fuochi.
Avere un segmento, a ben vedere, non contrasta ancora con la definizione di ellisse. Si parla infatti di luogo dei punti e non di curva nello specifico.
