Il diagramma di Eulero Venn e le relazioni logiche
Nel programma di matematica della scuola primaria il diagramma di Eulero Venn è uno dei primi argomenti previsti. I bambini di prima elementare però imparano a conoscerli semplicemente come insiemi e li disegnano per raggruppare gruppi di oggetti simili. Negli anni poi imparano che il diagramma si utilizza per rappresentare le relazioni logiche fra gli elementi.
Nella rappresentazione graficalo si disegna come un cerchio o un’ellisse, al cui interno si dispongono i vari elementi. Esiste però più di un modo per rappresentare un insieme oltre a quello del diagramma, e tutti sono equivalenti fra di loro. Quando il numero degli elementi da rappresentare è corposo il sistema grafico infatti non risulta più efficace.
Come si presenta il diagramma di Eulero Venn
Il disegno più iconico di questo diagramma è quello dei tre insiemi circolari che si intersecano al centro. Il diagramma infatti è delimitato da una linea curva che può essere ovale, circolare o ellittica, senza che la forma determini un significato diverso. All’interno di questa linea si vanno a inserire gli elementi dell’insieme.
Per poter distinguere un elemento dall’altro quando sono numeri, lettere o nomi ciascuno viene contrassegnato con un puntino. All’interno del diagramma questo consente anche di poterli contare più facilmente. Alle elementari inizialmente all’interno degli insiemi si riportano i disegni degli elementi perché capire come suddividerli sia più intuitivo per i bambini.
Se compaiono elementi anche all’esterno del diagramma di Eulero Venn significa che non ne fanno parte, e quindi hanno caratteristiche diverse da quelli interni. Quando all’interno della linea chiusa che delimita l’insieme non ci sono elementi si parla invece di insieme vuoto, che si può indicare anche con il simbolo ∅.
L’unica condizione necessaria per disegnare nel modo corretto il diagramma è che la linea curva che lo delimita non si intrecci o si sovrapponga con sé stessa. In questo caso infatti per convenzione si vengono a creare due o più
Diagramma Eulero Venn: le applicazioni
Ora che abbiamo visto come si rappresentano gli insiemi, è ora di introdurre qualche simbolo. Per denominare un diagramma di Eulero Venn per convenzione si utilizzano le lettere maiuscole dell’alfabeto. Se ci sono tre insiemi distinti per esempio li si può indicare con le lettere A, B e C. Gli elementi dell’insieme possono variare, ma se si rappresentano relazioni logiche si usano le lettere minuscole.
Un insieme A qualsiasi per esempio può contenere 5 elementi {a,b,c,d,e}. Per indicare che sono all’interno di A si utilizza il simbolo ∈, che significa “appartiene a“. Quindi si scriverà che a ∈ A, b ∈ A e così via. In caso invece ci sia un elemento f esterno questo non apparterrà all’insieme A e si dovrà usare il simbolo ∉, che sta per “non appartiene a“. Ossia f ∉ A.
I diagrammi di Eulero Venn si usano sia per rappresentare insiemi finiti, come quello appena visto, sia per quelli infiniti. Si definiscono così gli insiemi di cui è impossibile elencare tutti gli elementi per iscritto, come ad esempio N, che contiene tutti i numeri naturali. Per convenzione si rappresenta allora il diagramma vuoto, scrivendo la N accanto.
Oltre ad N altri insiemi infiniti che si rappresentano graficamente con il digramma sono:
- Q (numeri razionali relativi).
- Z (numeri interi relativi).
- R (numeri reali).
- I (numeri irrazionali).
Come rappresentare un insieme senza il diagramma di Eulero Venn
Mettiamo di avere un insieme B finito che contiene 7 città italiane. La sua rappresentazione per elencazione potrebbe essere B = {Ancona, Empoli, Napoli, Roma, Venezia, Milano, Aosta}. Gli elementi si scrivono all’interno di due parentesi graffe, separati l’uno dall’altro da una virgola. Nel caso degli insiemi numerici per convenzione non si mettono sparsi ma in ordine crescente.
Un altro sistema alternativo al diagramma di Eulero Venn è la rappresentazione degli insiemi per proprietà o caratteristica. Si ricorre sempre alle parentesi graffe ma al loro interno si scrive una proposizione che definisca il tratto comune fra gli elementi. L’indicazione va preceduta con il simbolo x | x, che in matematica si legge “x tale che x“.
Se per esempio si ha l’insieme A = {1,2,3,4,5,6,7,8} si può passare alla rappresentazione per proprietà. Si tratta dei numeri interi compresi fra 1 e 8 quindi si scriverà A ={ x | x è un numero intero naturale maggiore di 0 e minore di 9}. Quando si ha un insieme rappresentato per elencazione è semplice ricavare quella grafica o quella per proprietà.
