Cubo di un binomio, guida per calcolarlo con esempi
Tra i prodotti notevoli il peggiore da ricordare è il cubo di un binomio. Tanto che alcuni quasi dimenticano che appartenga alla categoria e sbagliano il calcolo proprio per questo. Non è immediato, ma una volta compresa la dimostrazione è tutto in discesa. Vediamo come affrontare questo “mostro” algebrico che spunta sempre a sproposito.
Cubo di un binomio: formula
Come tutti i prodotti notevoli, il cubo di un binomio è una formula di calcolo rapido nelle espressioni con i polinomi. La dicitura notevoli si riferisce anche al fatto che questo elemento si presenta spesso nei calcoli. Il loro scopo è agevolare la risoluzione delle espressioni nel calcolo delle potenze dei polinomi.
La formula utilizzata è (a + b)^3 = a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3. Questo nel caso di un binomio con somma.
Quando abbiamo il binomio con differenza invece usiamo (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3.
Scritta in formato testuale la regola suona così. Il cubo di un binomio è uguale a:
- il cubo del primo termine (in questo caso a, dunque a^3).
- 3 volte il quadrato del primo termine per il secondo (3a^2b).
- 3 volte il quadrato del secondo termine per il primo (3ab^2).
- il cubo del secondo termine. (3b^3).
Per comprendere il risultato di questa potenza, vediamo la dimostrazione di entrambi,
Dimostrazione per la somma
Partiamo come prima dal caso in cui si abbia la somma all’interno del binomio.
(a + b)^3 possiamo considerarlo anche come (a + b) (a + b)^2. Abbiamo applicato la regola del prodotto fra potenze. Così si ottiene un binomio per un quadrato di binomio.
Ora si può applicare la regola per il calcolo di un altro prodotto notevole. Ossia il quadrato del binomio.
(a + b)^2 diventerà così a^2 + 2ab + b^2. Ora possiamo riprendere il calcolo.
(a + b) (a^2 + 2ab + b^2) = (a^3 + 2a^2b + 2ab^2 + b^3 + a^2b + ab^2) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
La difficoltà sta nel fatto che all’interno di questo prodotto notevole…ne esiste un altro.
Dimostrazione per la differenza
La dimostrazione del cubo di un binomio dove è presente la differenza è pressoché identica. Occorre solo ricordare di non cambiare segno per sbaglio.
Applicando la stessa regola di prima, si scompone il cubo in un binomio con esponente 1 moltiplicato per un quadrato.
(a – b)^3 = (a – b) (a – b)^2
Calcolando il quadrato del binomio si ottiene a^2 – 2ab + b^2
Poi si procede come già visto.
(a – b) (a^2 – 2ab + b^2) = (a^3 – 2a^2b + 2ab^2 -b^3 + ab^2 – a^2b) = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3
Anche qui, è sufficiente ricordarsi di scomporre.
Esempi semplici di calcolo del cubo di un binomio
Cambiamo un po’ le carte in tavola, o meglio lettere. E già che ci siamo anche i coefficienti.
Calcoliamo il cubo di 3x – 2y. Basta un po’ di attenzione ai numeri e il gioco è fatto.
Seguendo la regola e senza indugio possiamo già stabilire il risultato.
Il cubo del binomio a – b era a^3 -3a^2b + 3ab^2 – b^3
Applicando al nuovo binomio:
(3x – 2y)^3 = 27x^3 – 54x^2y + 36xy^2 – y^3
Giusto? Cubo di 3x (primo termine), 3 x (quadrato di 3x per -2y), 3 x (quadrato di -2y per 3x), cubo di -2y. Ma per essere scrupolosi…
( 3x – 2y)^3 va riscritto in (3x – 2y) (3x – 2y)^2. Poi, senza ripeterci…
(3x – 2y) (9x^2 – 12xy + 4y^2) = (27x^3 – 36x^2y + 24xy^2 – 8y^3 – 18x^2y + 12xy^2) = 27x^3 – 54x^2y + 36xy^2 – y^3
Se si ricorda la regola il calcolo è immediato, ma meglio verificare sempre. Un prodotto notevole calcolato senza attenzione può sempre portare guai.
Vediamo un altro esempio.
(1/2a + b) ^3
Seguendo la regola per il cubo di un binomio con la somma viene 1/8a^3 + 3/4a^2b + 3/2ab^2 + b^3
Ora verifichiamo scomponendo come prima in (1/2a + b) (1/2a + b)^2 e calcoliamo.
(1/2a + b) (1/4a^2 +ab + b^2) = (1/8 a^3 + 1/2 a^2b + ab^2 + b^3 + 1/4a^2b + 1/2 ab^2) = a^3 + 3/4a^2b + 3/2 ab^2 + b^3
Questi sono ancora calcoli semplici però…
Attenzione alle imitazioni!
Un esempio in espressione
Essendo due prodotti notevoli meglio calcolarli a parte e poi proseguire.
