La congettura di Goldbach e le coppie di numeri simmetrici
Anche se la Matematica è considerata la scienza esatta, sono i problemi irrisolti come la congettura di Goldbach che le continuano a conferirle un certo fascino. Si tratta di un quesito matematico posto nel 1742 da uno studioso tedesco all’interno di una lettera per lo svizzero Leonhard Euler. Questo celebre interlocutore lo conosciamo come Eulero, e sappiamo che neppure lui riuscì a venirne a capo.
Il matematico che formulò questo problema dedicò la sua vita allo studio della teoria dei numeri, ossia la branca che riguarda le unità intere. Il suo problema nel dettaglio riguarda i numeri primi, ovvero a quei numeri che non hanno divisori a parte la cifra stessa e l’1, come i numeri naturali sono infiniti, anche se a scuola di solito impariamo solo i primi (2,3,5,7…).
Vediamo allora insieme, in questo articolo, i termini della congettura di Goldbach.
L’enunciato della congettura di Goldbach
La definizione riportata solitamente sui libri di Matematica non è quella originale ma la versione riscritta da Eulero dopo aver ricevuto la lettera dal collega. Nella sua prima formulazione l’enunciato era “ogni numero intero più grande di 5 si può scrivere come somma di tre numeri primi“. Tuttavia il matematico svizzero decise di darle una forma diversa, più semplice.
Oggi dunque si impara questo problema matematico nella forma che segue. “Tutti i numeri pari maggiori di due sono anche la somma di due numeri primi“, che nell’insieme dei numeri naturali equivalgono a tutti i numeri pari. La formulazione vista sopra oggi è considerata solo come una conseguenza di questo principio, che al momento non risulta ancora dimostrato.
Paradossalmente la congettura di Goldbach originale ha trovato soluzione qualche anno fa grazie a un matematico peruviano. Parliamo di Harald Andrés Helfgott, che al momento lavora come ricercatore all’Institut de Mathématiques de Jussieu, che ha sede a Parigi. Tuttavia la dimostrazione di questo problema non implica le veridicità della formulazione data da Eulero.
Per questo il problema matematico rimane irrisolto e continua a rappresentare una sfida per tutti i matematici. I tentativi di provarla ormai non si contano più. Ciò che incuriosisce è che in apparenza sembra facile, poiché l’ambito è ristretto all’insieme dei numeri interi.
La difficoltà di dimostrare un’intuizione
Il problema di assodare quella che a prima vista sembra una banale osservazione deriva dal fatto che la congettura di Goldbach si basa sull’intuito. Dal punto di vista “empirico” se così si può dire basterebbe mettersi a scrivere tutti i numeri pari uno dietro l’altro come somme di numeri primi. Ma per dimostrare un teorema serve un ragionamento logico deduttivo per iscritto, con passaggi ben inquadrati.
Finora si è potuto dimostrare che alcuni numeri pari maggiori di 2 sono anche la somma di una coppia di numeri primi. Basta indicare con p un generico numero primo e di conseguenza il suo doppio sarà la somma di due numeri primi uguali (es. 10 = 5 + 5, 14 = 7 + 7…). Nonostante questi numeri che possiamo indicare con 2p siano infiniti come dimostrazione non è sufficiente.
Dai tentativi di dare corpo alla al problema matematico è nato un grafico dalla caratteristica forma a coda di cometa. Si tratta di una rappresentazione della congettura di Goldbach che considera le varie possibilità in cui scrivere i numeri pari sotto forma di numeri primi. Ciò che si osserva è che la “coda” si allarga man mano che i numeri tendono all’infinito.
Questo vuol dire che più sono le cifre che compongono il numero pari maggiore è il numero di modi possibili per scriverlo come somma di numeri primi. Per costruire il grafico si considerano i numeri pari maggiori di due come ascissa e le scritture possibili come ordinata. Come semplificazione dato che N è un insieme infinito si ricorre a degli intervalli anziché a delle cifre.
La congettura di Goldbach e i numeri simmetrici
Per capire il concetto correlato alla congettura di Goldbach dobbiamo scrivere una serie di numeri, per esempio quelli che vanno da 1 a 99. Ci si ritroverà così di fronte a un centinaio di numeri in riga, dove il 50 è quello centrale (come un asse di simmetria). A questo punto si noterà che i numeri in posizione speculare alla stessa distanza dal 50 danno come somma 100. Es. 99 + 1, 98 + 2, 93 + 7…
Proprio queste coppie sono i numeri simmetrici accennati prima. Non sempre però quando li consideriamo partiamo dal numero 1 a scrivere la serie. Considerando un qualsiasi numero a come inizio della sequenza e con b il valore che la conclude è possibile calcolare quanti numeri la compongono con al formula n = b – a + 1.
Di conseguenza ciò che il matematico intendeva è che il suo problema ammette che la condizione può essere soddisfatta da più combinazioni diverse. Un aspetto che la cometa di Goldbach nominata prima riesce a illustrare perfettamente con la sua forma.
