Prodotti notevoli: il quadrato di un trinomio
Tra i prodotti notevoli il quadrato del trinomio è quello che richiede il calcolo più lungo rispetto agli altri, ma spesso viene dimenticato. Per prodotto notevole si intendono delle formule per il calcolo delle potenze dei polinomi che aiutano a semplificare il processo. In tutto sono quattro, contando anche il quadrato del binomio, il cubo del binomio e la somma per differenza di binomi.
Questo prodotto notevole si rivela complesso anche quando bisogna fare l’operazione inversa, ossia riconoscerlo in un polinomio composto da 6 termini.
La formula per il calcolo del quadrato del trinomio
Per esteso, questo prodotto notevole si ottiene come segue. Quando si eleva al quadrato un trinomio, il risultato è composto dai quadrati dei monomi che lo compongono e dai loro doppi prodotti. Vale a dire due volte il prodotto fra il primo e il secondo termine, fra il secondo e il terzo termine e fra il primo e il terzo termine.
La formula che si usa è (a ± b ± c)2= a2 + b2 + c2 ± 2ab ± 2ac ± 2bc. I primi tre termini del risultato sono i quadrati dei monomi che compongono il trinomio (a2 + b2 + c2) e in quanto tali sono sempre positivi. Gli altri tre invece possono variare di segno a seconda di quelli presenti nel trinomio iniziale (2ab ± 2ac ± 2bc).
Le forme più comuni in cui il quadrato del trinomio può presentarsi sono tre:
- (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac. Tutti i termini del trinomio sono positivi quindi tutti i doppi prodotti hanno il segno “+”.
- (a – b – c)2= a2 + b2 + c2 -2ab +2bc -2ac. Ci sono due termini con segno negativo e due dei prodotti notevoli presentano quindi il segno “-“.
- (a + b – c)2= a2 + b2 + c2 +2ab -2bc -2ac o (a – b + c)2= a2 + b2 + c2 -2ab -2bc +2ac. Uno solo dei termini presenta il segno “-” e due prodotti notevoli sono negativi.
Quadrato di un trinomio: esempi di calcolo
Per capire meglio come funziona il quadrato del trinomio passiamo a qualche esercizio. Partiamo con un esempio semplice, come il trinomio 2x + 3y – 5. Per prima cosa bisogna fare il quadrato dei tre termini, quindi (2x)2 + (3y)2 + (-5)2, e a seguire i loro doppi prodotti, cioè 2[2x(3y)] + 2[3y(-5)] + 2[2x(-5)]. Quindi (2x + 3y – 5)2= (2x)2 + (3y)2 + (-5)2 +2[2x(3y)] + 2[3y(-5)] + 2[2x(-5)].
Passiamo a un caso più complesso, dove ci sono anche i coefficienti frazionari: 1/4x2 + 4/3y – 1/2c. Anche in questo caso si parte elevando al quadrato i tre monomi che compongono il polinomio. Nel caso delle frazioni si elevano sia numeratore che denominatore, perciò avrò 1/16x4, 16/9y2 e 1/4c2. Più i doppi prodotti 2(1/4)(4/3)x2y, 2(16/9)(1/4)cy e 2(1/16)(1/4)x2y.
Il risultato quindi sarà (1/4x2 + 4/3y – 1/2c)2 = 1/16x4, 16/9y2 e 1/4c2 +2/3x2y + 8/9cy + 1/12x2y. Infine, possiamo vedere un esempio di quadrato del trinomio con i coefficienti decimali: 0,1ab – 1,2x – 0,2z. In questo caso conviene prima convertire i numeri decimali in coefficienti frazionari, perciò 1/10ab -6/5x – 1/5z.
A questo punto si procede come prima, con i quattro quadrati (1/10ab)2, (-6/5x)2 e (-1/5z)2e i doppi prodotti 2(1/10)(-6/5)abx, 2(-6/5)(-1/5)xz e 2(1/10)(-1/5)abz. Il risultato quindi è (1/10ab -6/5x – 1/5z)2 = 1/100 a2b2 + 36/25x2 + 1/25z2 -6/25abx + 12/25xz -1/25abz.
Che errori si commettono di frequente
A livello della parte letterale un errore diffuso è quello di non fare i doppi prodotti fra i termini del trinomio iniziale ma fra i loro quadrati. Per questo all’inizio conviene scrivere lo svolgimento dell’esercizio sulla riga sottostante rispetto a dove si ricopia il quadrato del trinomio, per non confondersi. Una volta presa l’abitudine si può evitare di fare così.
Infine come sempre quando si ha a che fare con monomi e polinomi c’è la questione del segno davanti ai vari termini. Dovendosi ricordare dei quadrati e dei doppi prodotti fra coefficienti è facile scordare di mettere un segno meno e scrivere un risultato sbagliato. Specialmente se entrambi i termini sono negativi e quindi il doppio prodotto risulta positivo.
Scomposizione del quadrato di un trinomio
Dai doppi prodotti del quadrato del trinomio invece si ricavano i segni che andranno messi davanti ai tre termini. Tutti i doppi prodotti hanno il segno “+”, quindi non ci possono essere dei monomi negativi. La scomposizione di 9x2 + 16y2+ 4z2 + 24xy + 16yz + 12xz sarà 3x + 4y + 2z.
