Calcolo delle probabilità di un evento: classificazione ed esempi
Uno dei primi concetti che bisogna chiarire nel calcolo delle probabilità riguarda la classificazione degli eventi che si considerano. Con evento si intende uno dei possibili esiti di un esperimento o di un’osservazione che si esprimono attraverso una proposizione. Per indicarli generalmente si utilizza il simbolo E ma si può usare una qualsiasi lettera maiuscola dell’alfabeto.
Quando si considerano due o più eventi bisogna capire se fra di loro sono compatibili o incompatibili fra di loro. Nel primo caso bisogna fare un’ulteriore distinzione fra gli eventi a seconda che siano dipendenti o indipendenti per capire se si influenzino o meno. Il calcolo cambia radicalmente fra un caso e l’altro.
Calcolo delle probabilità di un evento
La definizione vera e propria di evento in Statistica è sottoinsieme dello spazio campionario scelto per l’esperimento. In quanto tale può anche coincidere con la totalità dello spazio campionario in quanto corrisponde all’unico esito possibile. Si parla allora di evento certo perché è sicuro che si verifichi e non ci sono altri esiti possibili.
Qualora invece l’evento corrisponda ad un sottoinsieme vuoto significa che non contiene nessuno degli esiti possibili dell’esperimento e quindi risulta impossibile. La sua probabilità sarà sempre nulla, in contrapposizione all’evento certo. Gli insiemi che invece contengono solo una parte dei possibili risultati dell’esperimento e dell’osservazione sono gli eventi aleatori detti anche casuali.
La frequenza con cui si può verificare un evento aleatorio è l’obiettivo che si vuole stabilire attraverso il calcolo delle probabilità. Stabilendo un evento E e un risultato finale r si stabilisce che se r è un elemento dell’insieme E allora l’evento si è verificato. Diversamente se r non fa parte degli elementi di E allora si trova all’interno di un altro insieme ed E non avviene.
Gli eventi compatibili ed incompatibili
Nel calcolo della probabilità si possono incontrare eventi che possono verificarsi insieme, senza che uno escluda l’altro. Si tratta degli eventi compatibili, che considerati sempre come insiemi hanno elementi in comune e quindi un’intersezione. Considerando un mazzo di carte da poker sono eventi compatibili B (estrarre una carta di cuori) e C (estrarre un asso). Se prendo l’asso di cuori infatti si verificano entrambi.
Al contrario se il verificarsi di un evento esclude la possibilità che ne avvenga un altro fra di loro questi si definiscono eventi incompatibili. Come insiemi questi sono ben distinti e non hanno elementi in comune. Pensando al mazzo di carte l’evento D (estrarre una carta nera) e l’evento E (estrarre una carta rossa) risultano incompatibili perché la carta trovata potrà soddisfare solo una o l’altra condizione.
Nel caso degli eventi incompatibili il calcolo delle probabilità totale è la somma della probabilità dei due eventi. Estrarre una carta nera ha p = 0.5 e lo stesso vale per la carta rossa quindi la probabilità che se ne verifichi uno dei due è pari a 1 (100% dei casi). Per quanto riguarda gli eventi compatibili bisogna togliere dal calcolo la probabilità che si verifichino entrambi (l’intersezione dei due insiemi).
Quindi se estrarre una carta di cuori ha p = 0.25 ed estrarre un asso invece p = 0.1 la probabilità che si verifichino entrambi insieme (asso di cuori) è il loro prodotto, ossia (o.25)(0.1) = 0,025. La probabilità che avvenga uno o l’altro è la somma delle probabilità singole meno quella che avvengano entrambi, dunque (0.25 + 0.1) – 0,025 = 0,325. Usando le frazioni avremmo (1/4 + 1/10) – 1/40 = 13/40.
Il calcolo delle probabilità degli eventi dipendenti e indipendenti
Nel caso degli eventi dipendenti invece questi esercitano un’influenza reciproca che determina se avverrà o meno l’altro. Un esempio è quando c’è una situazione che è conseguenza di un’altra. Mettiamo di avere un cesto di palline colorate da cui se ne estraggono due in momenti separati e senza reinserire la prima. Togliere un elemento cambia infatti il calcolo delle probabilità della seconda estrazione.
Immaginiamo che le palline in tutto siano venti e di due colori, dieci rosse e dieci blu. Se ho due eventi E1 (tiro fuori prima una pallina rossa) ed E2 (estraggo dopo una pallina blu) alla prima estrazione la probabilità di ciascun evento è esattamente 10/20 (1/2 semplificando). Se estraggo una pallina rossa però alla seconda estrazione ho un elemento in meno e rimangono 19 palline, 10 blu e 9 rosse.
Un esercizio per capire meglio
Per capire a fondo il calcolo delle probabilità degli eventi serve esercitarsi. Vediamo di seguito un quiz semplice da risolvere:
1. Marco prende un mazzo di 40 carte da poker e le mescola. Scommette che estrarrà in ordine una carta di cuori e poi una di fiori, senza reinserire la prima carta. Qual è la probabilità che ci riesca?
Tra di loro i due eventi sono incompatibili quindi non possono verificarsi insieme. Dato che non avviene il reinserimento però siamo nel caso di due situazioni che si influenzano fra di loro perché rimuovo un elemento. Quindi estrarre la carta di cuori avrà probabilità pari a 10/40 e estrarre la carta di fiori invece 10/39.
