Teorema di Pitagora: guida completa con formule e dimostrazione

Enunciato e formula del teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora è uno dei principi fondamentali della geometria euclidea, utilizzato per determinare la relazione tra i lati di un triangolo rettangolo.
Questo teorema, attribuito al matematico greco Pitagora, afferma che in ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

“In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti”.

Per comprendere il teorema di Pitagora, occorre immaginare di costruire dei quadrati usando come base i lati del suddetto triangolo.Si ottengono tre quadrati. Secondo l’enunciato, calcolando le aree dei quadrati dei due cateti e sommandole si avrà un risultato pari all’area del terzo quadrato.
Quali sono i risvolti pratici della formula?
Presto detto. Il quadrato costruito su ogni lato è la sua misura elevata alla seconda.

Considerando:

a,b = cateti
c = ipotenusa

In formula a² + b² = c²

Spingendoci oltre, possiamo dire che la radice quadrata delle somme dei quadrati dei cateti è pari all’ipotenusa. In formula: √a² + b² = c
In questo modo conoscendo le misure dei cateti si può ricavare quella dell’ipotenusa.

Vediamo un esempio pratico per mettere a frutto quanto appena imparato sul Teorema di Pitagora.
Supponiamo di tagliare a metà un rettangolo. Le dimensioni dei lati di questa figura ci sono note. Rispettivamente 6 cm per l’altezza e 8 cm per la base del rettangolo. Ne ricaviamo due triangoli congruenti, la cui ipotenusa è la diagonale del rettangolo.
Come procediamo?

Eleviamo al quadrato le misure di altezza e base. L’altezza sarà il cateto minore e la base il cateto maggiore.
La diagonale alias ipotenusa la possiamo indicare con c.

6^2 + 8^2 = c^2

36 + 64 = c^2

100 = c^2

c=10

Dimostrazione del Teorema di Pitagora

Esistono più dimostrazioni del teorema di Pitagora, dato il suo ruolo fondamentale nella geometria euclidea.
Quella canonica prevede innanzitutto di disegnare un quadrato di lato pari alla somma dei cateti. Questo quadrato viene poi riempito con i quadrati costruiti sui cateti e quattro triangoli rettangoli uguali a quello di riferimento.
Lo stesso quadrato può essere però riempito anche con il quadrato costruito sull’ipotenusa e quattro triangoli rettangoli.

In sintesi: (4 triangoli rettangoli + quadrati dei cateti) = (4 triangoli rettangoli + quadrato dell’ipotenusa)

Semplificando l’equazione:
Quadrati dei cateti = quadrato dell’ipotenusa

Formule inverse

Se sappiamo le misure dei cateti, possiamo ottenere l’ipotenusa. E se invece avessimo l’ipotenusa e un cateto? Che si fa?

Nessun problema, basta applicare al teorema di Pitagora le cosiddette formule inverse. In pratica, rigirare la formula a nostro vantaggio.
Ecco come.

Supponiamo di avere a (cateto minore) e c(ipotenusa). Per ricavare b (cateto maggiore):

a²  + b² = c²

a² + b² – c² = 0

c² – a² – b²=0

c² – a² = b²

√c² – a² = b²

Per semplificare vedremo ora un esempio più concreto per l’applicazione del teorema di Pitagora. Immaginiamo un triangolo rettangolo di cui siano note la misura dell’ipotenusa (5 cm) e del cateto minore (3 cm).

Riprendendo la formula di prima, l’ipotenusa è c, il cateto maggiore b e il cateto minore a. Dunque elevando al quadrato dove richiesto:

9 + b^2 = 25

9 + b^2 – 25 = 0

25 – 9 – b^2 = 0

16 – b^2 = 0

b^2 = 16

b = 4

Semplice come bere un bicchier d’acqua no?

Teorema di Pitagora: problemi comuni ed errori da evitare

L’applicazione del teorema di Pitagora può presentare alcune difficoltà e comportare errori comuni, tra cui:

• Errata identificazione dell’ipotenusa
  È fondamentale individuare correttamente il lato opposto all’angolo retto come ipotenusa. Un errore comune è considerare un cateto come ipotenusa, compromettendo così l’accuratezza dei calcoli.

• Applicazione del teorema in triangoli non rettangoli
  Il teorema di Pitagora si applica esclusivamente ai triangoli rettangoli. Tentare di utilizzarlo in triangoli scaleni o isosceli può portare a risultati errati.

• Arrotondamenti eccessivi
  Quando si eseguono calcoli con radici quadrate, è importante non arrotondare eccessivamente i risultati intermedi, per evitare di ottenere un risultato finale impreciso.

• Utilizzo di unità di misura non coerenti
  Per evitare errori di conversione, è essenziale che tutte le misure dei lati siano espresse nella stessa unità di misura prima di applicare la formula.

• Mancata verifica dei calcoli
  Dopo aver applicato il teorema, è buona pratica ricontrollare i calcoli per assicurarsi che il risultato sia coerente con le misure fornite.

Terne Pitagoriche

Per concludere rimandiamo ad altri approfondimenti di matematica:

• guida alla parabola.
• il piano cartesiano.