Il teorema fondamentale del calcolo integrale
Per lo studio e il calcolo degli integrali è fondamentale conoscere il teorema di Torricelli-Barrow. Uno dei due scienziati a cui deve il nome fu lo stesso celebre fisico italiano che inventò il barometro a mercurio. Forse anche per non confondersi la regola è detta anche “teorema fondamentale del calcolo integrale” e lo si articola in più parti, che si possono anche considerare in modo distinto..
Il motivo per cui questa regola matematica è così importante è il fatto che stabilisca una relazione precisa fra gli integrali e le derivate per le funzioni a variabili reali. Il teorema si applica in particolare agli integrali definiti, ovvero l’area di un intervallo del grafico di una funzione.
Cosa afferma il teorema di Torricelli-Barrow
Vediamo prima di tutto l’enunciato della prima parte del teorema.
Prendiamo una funzione f e un sui intervallo [a,b] in cui a e b sono valori appartenenti a R, integrabile in tale intervallo. Allora la funzione integrale F (x,y) risulta continua in tale intervallo. Se inoltre la funzione f è continua nell’intervallo [a,b] allora F è derivabile in ogni punto di f in cui essa è continua.
Usando x per indicare un punto qualsiasi della funzione si può dire che F'(x) = f(x) Ricordiamo che una funzione si dice continua in un punto se i suoi limiti sinistro e destro di un intervallo coincidono con la valutazione della funzione in quel punto. Per dimostrare la prima parte del teorema di Torricelli-Barrow scelgo un punto x interno ad [a,b] e un numero h>0 tale che x+h appartenga ancora all’intervallo.
Faccio perciò l’integrale Sax f(t)dt +Sxx + hf(t)dt che per le proprietà degli integrali diventa Sax + h f(t)dt. Per definizione F(x) = all’integrale Sax f(t)dt e F(x + h) = Sxx + hf(t)dt . La loro differenza quindi risulta Sxx+h f(t)dt e usando il teorema della media integrale troviamo c tale che F(x+ h) – F(x)/h = f(c).
Poiché x < c < x + h e la funzione è continua il limite in c per h=>0 è uguale a x e lo stesso vale per i limiti di x e di x + h. Si arriva quindi a F’(x) = f(x).
La seconda parte del teorema
C’è una seconda regola che è nota come teorema di Torricelli-Barrow. Consideriamo sempre una funzione f continua in un intervallo [a,b] con a e b numeri reali che ammetta una primitiva G(x) in tale intervallo. In queste condizioni vale la formula Sabf(t)dt = G(b) – G(a). G(x) è tale per cui G’(x) = f(x). Iniziamo con il precisare che F(a) = Saa f(t)dt e F(b) = Sbbf(t)dt.
Per le proprietà degli integrali Sabf(t)dt = F(b) – F(a) e dunque devo dimostrare che F(b) – F(a) = G(b) – G(a) per ogni primitiva G(x). Dato che ogni G’(x) = f(x) per il primo teorema del calcolo integraleF’(x) = G’(x) e anche F’(x) – G’(x) = 0. Si può anche scrivere [F(x) – G(x)]’ = 0 e dunque questa relazione è costante. Chiamando c la costante scrivo allora F(x) – G(x) = c per ogni punto dell’intervallo [a,b].
Di conseguenza F(b) – F(a) si può scrivere anche [G(b) + c] – [G(a) + c ] e posso semplificare il termine c. Rimane quindi G(b) – G(a), che è ciò che volevamo dimostrare.
Il teorema di Torricelli-Barrow e il grafico della funzione
Conoscendo il grafico di una funzione f(x) si possono trarre delle conclusioni su quello della sua primitiva F(x). prima di tutto gli zeri di f(x), ossia i punti in cui la funzione è uguale a zero, sono allo stesso tempo i punti a tangente orizzontale di F(x). Dunque in questi punti si annulla la derivata prima della primitiva.
Esempio applicazione del teorema fondamentale del calcolo integrale
Dunque G(x) = x3/3 + 2 e G(6) – G(2) = (63/3 + 2) – (23/3 + 2) = (216 + 6)/2 – (8 + 6)/3 = 222-14/3 = 208/3
