Teorema di Gauss: guida per calcolare il campo elettrico
In Fisica quando si arriva allo studio del campo elettrico si incontra presto il teorema di Gauss. A elaborarlo fu il famoso matematico e fisico tedesco che lavorò per lungo tempo sull’algebra e la geometria e sono negli ultimi anni lavorò ai fenomeni elettrici ed elettromagnetici. Si trattò di un contributo fondamentale per diverse scoperte avvenute in seguito.
In questa breve guida vedremo la definizione del teorema di Gauss e soprattutto le sue applicazioni. Per comprenderlo occorre innanzitutto tenere presente il concetto delle linee di campo.
Enunciato e formula del teorema di Gauss
Vediamo di scrivere in forma esplicita la legge scoperta da Carl Friedrich Gauss. Questa definisce che il flusso di un campo elettrico attraverso una superficie chiusa è il rapporto tra la carica totale interna alla superficie e la costante dielettrica assoluta del mezzo. Inoltre implica che ogni carica elettrica non presente sulla superficie non può esercitare alcuna influenza.
La formula del Teorema di Gauss è la seguente:
Φs(E→) = Qint/εm in cui:
- Φs(E→) è il flusso del campo elettrico indicato fra parentesi come grandezza vettoriale.
- Qint è la carica interna alla superficie.
- εm indica la costante dielettrica assoluta del mezzo che si sta considerando.
La carica e la superficie sferica
Immaginiamo di avere una carica positiva Q al centro di una sfera di raggio r. Si tratta di un caso esemplare per dimostrare il teorema di Gauss in quanto l’intensità del campo è la stessa su tutti i punti della superficie sferica dato che questi sono tutti equidistanti.
Dividendo la superficie in parti più piccole piane il flusso (Φi) attraverso ciascuna parte chiamata Si sarà dato dal prodotto del campo elettrico per la sua estensione. Vale a dire in formula Φi= EiSi. La somma dei singoli flussi attraverso ogni sezione della superficie totale darà quello finale secondo la formula ΦE =ΣiΔΦi.
Occorre ricordare quando si calcola ΦE che il campo elettrico è uguale in tutti i punti della superficie. Dunque la sua intensità totale si puà ottenere dal suo prodotto con la somma delle parti in cui è stata divisa la superficie. In formula quindi ΦE = E(Si1 +Si2 +Si3…).
Per finire la dimostrazione. del teorema di Gauss dobbiamo ricordare che la formula del campo elettrico è 1/4πε0 Q/r2. La formula per la superficie della sfera è 4πr2 e semplificando rimane Q/ε0 (nel caso si sia nel vuoto). In un mezzo invece si sostituirà la costante dielettrica assoluta del mezzo.
Considerazioni sul teorema di Gauss
- Il flusso del campo elettrico non dipende dall’estensione della superficie (o dal raggio della sfera nel caso illustrato). Gli unici fattori che entrano in gioco sono la carica sorgente e il mezzo in cui si irradiano le linee di campo.
- Quando la carica considerata è positiva il flusso lo è a sua volta e si dice uscente. In caso invece questa sia negativa il flusso è opposto a quello uscente e pertanto viene definito entrante.
- Attraverso una qualsiasi superficie chiusa si può ottenere lo stesso risultato. La formula del teorema inoltre vale per tutte le cariche e non è limitata a quelle puntiformi.
