Serie armonica in matematica: cosa sapere
In Matematica quando si parla di serie armonica si intende la sommatoria infinita dei reciproci dei numeri naturali ovvero di frazioni unitarie. Perciò 1/2 + 1/3 + 1/4…continuando senza fermarsi, anche se il primo termine della somma è 1 dato che il reciproco dell’unità è uguale. Per indicarla in modo più generale possiamo scrivere xn = 1/n.
Esistono più tipologie di questa serie: generalizzata, standard, a segno alterno, ecc… Ma una cosa che le accomuna è il fatto che siano tutte divergenti. Anzi, si possono usare all’interno di un confronto per capire se anche altre che si stanno studiando lo siano.
Che cos’è una serie armonica
In formula possiamo direttamente scrivere Σk = 1 1/k = 1 + 1/2 + 1/3…come si può notare per la sua stessa definizione tutti i termini che la compongono sono numeri positivi. Quindi oltre a dire che è digerente dobbiamo dire che lo fa in modo positivo. Si dice che diverge all’infinito per k =>∞. Tuttavia a successione dei suoi termini tende a zero se k => ∞, in formula limk=>∞1/k = 0.
Questa proprietà appena definita è anche una condizione necessaria perché una serie sia convergente.
Non è però sufficiente per definirla tale, e infatti come abbiamo già precisato la serie armonica è divergente. Per dimostrare che è così possiamo prendere a riferimento una successione generica come αk=(1 + 1/k)k.
Il limite di αk tende al numero di Nepero, ossia e, perciò limk=> ∞(1 + 1/k)k = e. Perciò la successione risulta divergente e convergente ad e (2,71828182). Infatti e ≥ (1 + 1/k)k per ogni valore di k. Lo stesso vale per i loro logaritmi, quindi applicando le loro proprietà posso arrivare a 1/k ≥ log(k + 1) – log k. Guardando alla serie vedremo che è equivalente a Σ1/k ≥ log(n – 1).
Facendo i limiti di entrambi avremo che quello del logaritmo è pari a infinito. E quindi Σ1/k ≥ ∞ e il suo limite per n =>∞ sarà uguale a infinito, dimostrando la divergenza della serie.
Le tipologie esistenti
Esiste più di un tipo di serie armonica che si può incontrare, che vedremo di seguito.
Serie di tipo generalizzato.
In questo caso il parametro k risulta elevato al parametro p, che può essere un numero reale positivo qualsiasi. In formula quindi la successione generalizzata sarà scritta come Σ 1/(k)p. Il carattere di questa serie dipende dal valore del parametro p. Se questo è inferiore a 1 è divergente, se è maggiore sarà convergente.
Serie a segni alterni.
Considerando sempre un parametro p (numero reale positivo) la seria armonica a segni alterni si scrive nella forma Σ(-1)p(1/kp). Anche in questo caso se p > 1 converge assolutamente, mentre se 0 < p < 1 converge semplicemente. Dunque per ogni valore di p la serie risulta convergente.
Serie modificata.
In questo caso introduco due parametri (p e q) ma diversamente dai casi precedenti si tratta di numeri reali qualsiasi (positivi o negativi). In formula scrivo, per k =2, Σ1/kp[log(k)]q. Dunque se p > 1 o se p = 1 e q > 1 risulterà convergente, mentre in caso q sia uguale a minore di 1 e p = 1 divergerà positivamente.
Esempi dello studio di una serie armonica
Dopo aver visto le formula generali è ora di vedere qualche esercizio. Prendiamo per esempio la serie Σk-4 per k = 1 e proviamo a determinarne il carattere, ossia se sia divergente o convergente. Intanto dato che k presenta un esponente negativo possiamo riscrivere la successione come Σ1/k4 e notare che appartiene alla categoria delle serie generalizzate (Σ 1/(k)p).
In questo caso p è uguale a 4, e quindi nel caso in cui è maggiore di 1. Come affermato prima la serie risulterà convergente. Un esempio di serie armonica generalizzata divergente invece è Σk-1/4, che sviluppata diventa Σ1/k1/4.
Quindi p è comunque un numero reale positivo ma è inferiore a 1. Si può scrivere anche nella forma Σ1/4√k.
Vediamo un altro esempio un po’ più articolato ora, come Σ(-1)k + 3(1/k3) per k = 1. Da subito possiamo notare che si tratta di una serie a segni alterni (che hanno formula generale Σ(-1)p(1/kp). Dato che il valore di p è 3 siamo nel caso in cui il parametro è maggiore di 1, quindi la serie deve essere convergente. Ma a volte queste successioni sono scritte in una forma da sviluppare, come vedremo ora.
Mettiamo di trovarci davanti a una serie come Σ(-1)m[1/(m – 7)7]. Assomiglia a una a segni alterni, ma bisogna riuscire a renderla nella forma già vista. Quindi possiamo porre k = m – 7 e al posto dell’esponente m scrivere k + 7. Quindi si avrà Σ(-1)k(1/k7).
Perché nascono le serie numeriche
Comprendere il concetto che si trova alla base non è semplice, ma la serie armonica ci mostra che a prima vista non si tratta di altro che di un’addizione infinita di numeri finiti. Quando si parla di serie in forma generale si intende infatti la somma degli elementi che formano una successione, che possono essere di natura diversa. Si può trattare di numeri, di vettori, di matrici oppure operatori.
La forma generica di una serie numerica si scrive Σak per a = 1. Quindi indica la sommatoria infinita dei termini a1 + a2 + a3…All’interno di questa successione si individuano degli indici (k) che individuano la successione delle somme parziali (Sk). Indica la somma dei termini che vanno da a0 ad ak. Con il limite della successione delle somme parziali si stabilisce la somma della serie.
In formula posso scrivere limk=>∞Sk. Per studiare una successione quindi non si svolge la sommatoria ma si studia un limite.
