Il principio di D'Alembert nella meccanica razionale
In Fisica quando si studia la meccanica razionale è importante conoscere il principio di D’Alembert. A enunciarlo fu l’omonimo fisico e matematico francese a metà del 1700 mentre svolgeva degli studi sulla dinamica. L’enunciato del principio stabilisce l’equilibrio di un sistema in movimento. Fu inizialmente pensato per i corpi rigidi ma in realtà si può applicare anche a quelli elastici.
Oltre che a occuparsi di meccanica Jean Le Rond D’Alembert si occupò anche di Astronomia, studiando in particolare la precessione degli equinozi. Ma non disdegnò neppure le arti e in particolare la musica, scrivendo delle regole per la composizione del basso continuo e la teoria dell’armonia.
Che cosa afferma il principio di D’Alembert
Per capire dobbiamo riprendere prima di tutto il secondo principio della dinamica formulato da Isaac Newton. Questo afferma che la forza applicata a un corpo è uguale al prodotto della sua massa per l’accelerazione subita, in formula F = ma. L’enunciato che stiamo esaminando afferma infatti che un sistema è in equilibrio se alle forze agenti su di esso si aggiungono le forze di inerzia.
L’inerzia non è altro che la proprietà di un sistema di opporsi alla variazione del suo stato di quiete oppure di moto prima che gli sia applicata una forza esterna. Il principio di D’Alembert quindi considera sia le forze agenti (F) che quelle che si oppongono, indicate con Fi. Per calcolarle quindi richiamando Newton le forze di inerzia sono opposte a quelle agenti e dunque Fi = – ma.
Di conseguenza se F = ma e Fi = – ma la somma di F e Fi sarà nulla. Se per esempio abbiamo un corpo che si muove lungo un piano orizzontale mantenendo una velocità costante non ha accelerazione e dunque le forze agenti sono uguali a quelle resistenti. Naturalmente stiamo considerando una condizione ideale dove per esempio è assente l’attrito.
Se il corpo invece presenta un’accelerazione allora la forza che lo mette in moto (motrice) supera sia quella resistente che quella di inerzia. Quindi indicandola con Fm possiamo scrivere che Fm= ma +FR. Quando si ha un’accelerazione negativa perché il sistema sta frenando allora si ha ma = FR.
Il caso del piano inclinato
Abbiamo visto come si può applicare il principio di d’Alembert a un corpo in movimento su un piano orizzontale, ma è possibile farlo anche quando questo è inclinato. Supponiamo il caso di un corpo di massa m alla base di una superficie inclinata di un angolo α e priva di attrito. Qui è il peso P del corpo a ostacolare la salita e si calcola facendo grazie a g (accelerazione di gravità, -9,81 m/s2).
La forza motrice Fm dunque deve superare sia P che la resistenza (FR) e si scrive Fm = mg + FR almeno nel caso in cui il moto in salita sia a velocità costante. In caso invece abbia un’accelerazione allora è presente anche la forza d’inerzia Fi, sempre pari a -ma. Quindi la forza motrice sarà uguale a ma + P + FR.
In caso invece il corpo si trovi in cima al pianto inclinato e quindi proceda in discesa allora è il peso che lo tira giù. Se procede con moto accelerato allora P è pari alla forza resistente e a quella d’inerzia. P = ma + FR. Per l’accelerazione però bisonga considerare la componente orizzontale della forza peso quindi fare m x g x sinα.
Quali sono le limitazioni del principio di d’Alembert
Per quanto sia importante non si tratta di una regola che può valere per tutti i sistemi. Prima di tutto stando a quanto il fisico francese scrisse fu che “un corpo una volta messo in movimento deve persisterci sempre uniformemente in linea retta“. Questo non vale nei casi in cui per esempio la traiettoria descritta sia circolare, come nel caso del moto armonico.
Un’altra condizione che il principio di d’Alembert assume a priori è che considera solo i corpi che si spostano secondo un moto uniforme o che si trovano in equilibrio statico. Diversamente da Newton però prende in considerazione la possibilità di non sapere sempre se il corpo o il sistema che si sta esaminando sia fermo o si stia muovendo.
L’enunciato non considera neppure l’energia cinetica (EC) né quella potenziale (EP) possedute dal sistema così come l’effetto che possono avere. La causa esterna (come definita dal fisico) o meglio la forza che varia lo stato di quiete o di moto del corpo inoltre non deve essere repentina come nel caso degli urti fra due corpi. E in particolare l’urto anelastico, dove varia anche la massa finale se i corpi si incastrano.
