Numeri complessi: guida
La concezione dei numeri complessi nasce ancora centinaia di anni fa. Intorno al sedicesimo secolo comparve l’espressione unità immaginaria che fu ipotizzata come soluzione delle radici quadrate di numeri negativi. Nel Rinascimento tuttavia queste quantità non erano considerate che escamotage per risolvere equazioni altrimenti impossibili.
Più avanti le unità immaginarie acquistarono definizioni e regole per la loro rappresentazione e utilizzo. Qui ne vedremo i punti salienti per comprenderne il motivo di introduzione.
I numeri complessi: un’esigenza matematica.
Cosa ha portato a ideare misure non ammissibili secondo la matematica tradizionale? La risposta è legata all’evoluzione del concetto stesso di questo campo della scienza.
Se in passato era considerata mera descrizione del reale come ad esempio la Biologia, diventò una branca in grado di inventare, andare oltre. Un celebre matematico vissuto nel XVII secolo, John Wallis, mise in luce una contraddizione evidente del rifiuto dei numeri complessi. Sottolineò che anche le quantità negative (con segno meno) non sono reali, ma sono ammesse in algebra.
Più avanti grazie a Gauss le unità immaginarie divennero a pieno titolo elementi della matematica e si diffusero in altri campi ad essa legati. Tra questi ad esempio la fisica e l’ingegneria.
L’introduzione di queste nuove entità consente di svolgere le operazioni non consentite all’interno dell’insieme R. Tra queste per fare due esempi banali:
- la già accennata radice quadrata di un numero negativo, come -1, -6…
- Trovare le soluzioni (zeri) di polinomi che apparentemente non li prevedono. Un esempio molto utilizzato è p(x) = x2 + 1.
Definizione dell’ente matematico.
I numeri complessi in matematica sono considerati un’estensione dei numeri reali, formati da una parte reale e una parte immaginaria. L’insieme che li contiene viene indicato con la lettera C e la forma per indicarli è a + i b.
Quindi si può dire che l’insieme C è formato da tutti i numeri della forma a + i b, quando a, b sono elementi di R. Questa è considerata la forma algebrica di ogni numero complesso.
Dato un qualsiasi ente matematico z = a + i b si definiscono la sua parte Reale ossia Re(z) e la sua parte immaginaria ossia Im(z). Re(z) è uguale ad a mentre la parte immaginaria Im(z) è uguale a b.
Un esempio di numero complesso può essere 4 + 5i. In questo caso Re(z) = 4 e Im(z) = 5.
Il caso estremo è quando si verifica la condizione per cui la parte reale risulti nulla. Si parla allora di unità immaginarie pure, o numeri complessi puri. La controparte, ossia i numeri che hanno parte immaginaria nulla, corrisponde agli elementi dell’insieme R. Già, i numeri reali.
Si può dire quindi che l’insieme R costituisca un sottoinsieme di C.
Rappresentazione su piano di Argand – Gauss
Quando in matematica ci si addentra fra le unità immaginaria anche il piano cartesiano risulta superato. Occorre passare alla sua versione successiva, cioò il piano di Argand-Gauss. Data la sua funzione viene definito anche piano complesso.
I punti del piano complesso sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi dell’insieme C, ossia i numeri complessi. Questo perché a ogni z sono associate delle coordinate per la sua rappresentazione.
In sintesi a z = a + i b si associa il punto con coordinate (a, b) = ( Re(z), Im (z) ).
Il piano di Argand – Gauss come struttura e rappresentazione grafica è uguale al piano cartesiano. Tuttavia i suoi assi cambiano nome: l’asse x diventa asse reale e l’asse y asse immaginario. Dunque Re(z) = a è la coordinata in ascissa mentre Im(z) = b è l’ordinata del punto.
Prendendo come esempio z = 7 -3i, allora il punto corrispondente sarà (7, -3). Il piano complesso come sempre in matematica sarà rappresentato con i quattro quadranti in modo da segnare anche le coordinate negative.
