MCD e mcm: utilizzo regole di scomposizione nel Test
Tra le principali regole matematiche che trovano applicazione in un numero molto elevato di operazioni ci sono quelle che riguardano la scomposizione e il calcolo del massimo comune divisore e del minimo comune multiplo (MCD e mcm): vediamo l’utilizzo delle regole di scomposizione.
1. I numeri primi
In aritmetica si definiscono numeri primi quei valori che non possono essere divisi ulteriormente, se non per 1 e per loro stessi. Si tratta di cifre fondamentali per la scomposizione di tutti i numeri, dal momento che permettono di individuare tutti i componenti essenziali di qualsiasi numero. Ciò è evincibile da uno dei teoremi più importanti dell’aritmetica, definito non a caso Teorema Fondamentale dell’Aritmetica. Secondo questo assioma tutti i numeri naturali (per tali intendendosi quelli con valore superiore a 1), si possono definire come un prodotto di elevazione a potenza di un numero primo. In altri termini, tutti i numeri che presentano un valore superiore a 1 costituiscono il prodotto della moltiplicazione per determinate unità di un numero primo. Avendo a disposizione questa regola è possibile risalire alle componenti di ciascun numero: infatti, se ogni cifra è il prodotto di un numero primo, è possibile risalire ai numeri primi alla base dei numeri naturali attraverso il processo di scomposizione. Questa operazione avviene attraverso due operazioni distinte, denominate rispettivamente Massimo Comun Divisore e minimo comune multiplo.
2. Cosa sono il Massimo Comune Divisore e il minimo comune multiplo (MCD e mcm)?
Si tratta, rispettivamente, di due regole di calcolo che hanno un’applicazione generalizzata. Infatti, è possibile scomporre tutti i numeri attraverso questi due fattori di calcolo.
Più nel dettaglio, secondo la regola del Massimo Comune Divisore (in sigla MCD) è possibile individuare, ponendo due numeri a confronto, il divisore comune più alto tra questi ultimi, e cioè il numero primo, dividendo per il quale le cifre considerate, che è alla base dei due numeri naturali.
Il calcolo del MCD si effettua scomponendo in fattori primi un numero e moltiplicando tra loro i fattori comuni risultanti dall’esponente più piccolo: ad esempio il MCD di 72 e 44 risulta 4.
Viceversa, il minimo comune multiplo (indicato in acronimo come mcm) individua il più piccolo tra i multipli comuni a due numeri. In questo caso, il calcolo si effettua scomponendo in fattori primi e moltiplicando fra loro i fattori comuni e non comuni al massimo esponente: nell’esempio di prima, il mcm di 72 e 44 risulterà 792.
3. Regole di scomposizione MCD e mcm
Un trucco efficace per l’utilizzo delle regole di scomposizione in presenza di MCD e mcm si basa sui numeri primi più importanti.
Innanzitutto, bisogna prendere in considerazione i principali numeri primi che si incontrano di frequente in aritmetica: si tratta del 2, del 3, del 5 e dell’11:
- per il 2, è possibile stabilire che qualsiasi numero naturale è divisibile per due quando esso è pari o termina con 0, 2, 4 e 6;
- per il 3, invece, un numero risulta divisibile per 3 quando la somma delle sue cifre è a sua volta divisibile per 3: quindi se si tratta di 3, 6, 9, 12 e così via;
- più semplice determinare la divisibilità per 5, dato che questa si ritrova solo quando un numero termina con 0 o con 5;
- infine, un numero è divisibile per 11 quando la differenza delle cifre pari e delle cifre dispari da come risultato 0, 11 o un multiplo di 11.