La legge di Poiseuille nella fluidodinamica
Nella Fluidodinamica la legge di Poiseuille è uno dei principi fondamentali per studiare il movimento dei fluidi all’interno di un condotto cilindrico. A determinarla fu il medico e fisiologo francese Jean Léonard Marie Poiseuille nel 1838, ma solo a livello empirico. La definizione studiata oggi si deve invece al fisico irlandese George Gabriel Stokes nel 1845, prima di ottenere la cattedra a Cambridge.
La particolarità di questa legge è proprio il fatto che si deve agli studi di un medico sulla circolazione nei vasi sanguigni, e infatti tiene conto della viscosità del sangue. Inizialmente ci si limitò a studiarla in questo ambito, per poi estenderla al moto laminare dei fluidi all’interno delle tubature degli impianti se sono a sezione cilindrica.
Enunciato e formula della legge di Poiseuille
Secondo quanto afferma questa legge la portata di una conduttura è direttamente proporzionale alla differenza di pressione applicata alle sue estremità e alla quarta potenza del suo raggio. Risulta invece inversamente proporzionale alla lunghezza della tubatura o del condotto considerato oltre che alla propria viscosità. Vediamo ora di tradurre il tutto all’interno della formula.
Esprimendo la portata con q, la formula della legge di Poiseuille è q = πR4Δp/8ηL All’interno di questa formula distinguiamo:
- R4 è il raggio del condotto o del tubo che stiamo considerando, che come già detto deve avere forma cilindrica.
- Δp rappresenta la differenza di pressione che esiste tra il punto di ingresso e il punto di uscita del condotto. In queste circostanze la si misura in Pascal (Pa).
- η è il simbolo del coefficienti di viscosità dei fluidi. A livello microscopico consiste nell’attrito che è presente fra le molecole della sostanza che scorre e non è presente nei fluidi ideali, ma solo in quelli reali. Per i gas naturalmente risulta molto più bassa rispetto ai liquidi perché le molecole sono molto distanti fra loro.
- L rappresenta la lunghezza del condotto o del tubo che stiamo considerando e la misuriamo in metri.
Determinare la viscosità di un fluido
Per applicare la legge di Poiseuille bisogna prima comprendere e determinare cosa sia la viscosità di un fluido. La si definisce come la grandezza che misura la propensione di un fluido a sviluppare attrito fra i suoi strati, che scorrono gli uni sugli altri.
La sua unità di misura secondo il Sistema Internazionale è il Poiseuille (PI) che corrisponde a 1 Pascal al secondo (Pa x s). Naturalmente anche questa unità di misura è un omaggio al medico francese.
La viscosità (η) è diversa per ogni fluido, ma possiamo fare qualche esempio scegliendo i due più abbondanti sul nostro pianeta, ovvero aria e acqua. Bisogna anche precisare la temperatura a cui la si misura perché più caldo è un fluido meno viscoso questo risulterà. Viscosità e temperatura dunque fra di loro sono inversamente proporzionali.
Ad esempio l’acqua ha η = 1,308 x 10-3 PI a 10°C mentre se la scaldiamo fino a 50°C allora avrà η = 0,5471 x 10-3 PI. L’aria invece ad esempio ha η = 17,4 x 10-6 PI a 0°C e 18,6 x 10-6 PI verso i 30°C. Negli esercizi proposti però di solito si utilizzano i valori calcolati a temperatura ambiente, che in Fisica si fissa a 20°C, o meglio a 293,15 K.
Dato che la viscosità è uno dei parametri essenziali per calcolare la portata con la legge di Poiseuille vediamo come calcolarla. La formula per trovarla è η = ΔpπR4t/8VL. La maggior parte dei fattori li abbiamo già descritti in precedenza ma qui ci sono anche t (il tempo di efflusso)e V (il volume del liquido), che si misura in cm3.
La legge di Poiseuille nei vasi sanguigni
La formula per descrivere la portata dei condotti nacque studiando la circolazione del sangue nelle vene e nelle arterie. Il sangue è un fluido che risulta molto più viscoso dell’acqua dato che al suo interno contiene diversi elementi corpuscolati e biomolecole che lo rendono molto denso. Sia la densità che la viscosità del sangue possono variare in base allo stato di idratazione del corpo.
La velocità del sangue all’interno dei vasi sanguigni cambia molto quando varia la sezione trasversa di questi ultimi. Fra di loro sono inversamente proporzionale perché se la sezione aumenta il flusso ematico tende a rallentare. Il punto in cui avrò il valore più basso saranno i capillari della rete che congiunge vene e arterie.
