Matematica Finanziaria: formule capitalizzazione composta
Conoscere le formule capitalizzazione composta è fondamentale per chi intendesse iscriversi ad Economia, in particolare per coloro che sosterranno il test Bocconi. Non occorre conoscere in modo approfondito questo regime finanziario ma è richiesto avere almeno un’idea delle sue basi, così come per la capitalizzazione semplice.
Prima di iniziare occorre ricordare alcuni concetti del calcolo finanziario. Il capitale iniziale (C) ossia la somma di denaro che si investe, il tempo t durante il quale C frutta degli interessi e infine il montante (M), ossia la cifra che si ottiene alla fine. Più il tasso di interesse (i) ossia la percentuale di cui aumenterà il capitale e l’interesse annuo (I).
Formule capitalizzazione composta: il montante
La principale differenza fra i due tipi di capitalizzazione sta negli interessi che si ricevono. Nel caso di quella composta le somme che si ottengono in più alla fine di ogni periodo si reinvestono subito. Durante il primo lasso di tempo si accumulano interessi come nella capitalizzazione semplice, ma durante il secondo periodo i primi guadagni vengono investiti e perciò si riceverà di più.
Il montante quindi ogni anno sarà maggiore di quello precedente anche se il tasso di interesse rimane lo stesso. L’interesse annuo deriva dal tasso di interesse per il capitale, quindi I =Ci. M deriva dalla somma del capitale iniziale C e del tasso di interesse annuo quindi M = C + I. Oppure si può scrivere anche M = C (1 + i).
Nella capitalizzazione composta però dopo il primo anno la formula cambia leggermente. Mettiamo di avere un montante pari a 2.000 euro per il primo anno con un i del 15%. Nel secondo periodo il valore di M dovrà considerare anche gli interessi ottenuti in precedenza. Dunque avremo M = 2.300 + i(2.300).
Per poter calcolare il montante per diversi anni successivi la formula da usare sarà M = C (1 + i)t. Il tempo t sarà indicato in anni perciò per esempio per trovare la somma che si otterrà dopo 6 anni basta scrivere M = 2.000 (1 + 0,15)6. Scritta per esteso infatti si avrebbe C(1 + i) x (1 + i) x (1 + i)…
Le differenze rispetto alla capitalizzazione semplice
Al contrario della capitalizzazione composta, quella semplice non prevede di reinvestire gli interessi alla fine di ogni anno. Per questo lo si definisce un sistema lineare per applicare gli interessi e per farli crescere. Alla fine di ogni periodo questi infatti aumentano sempre della stessa quota, senza differenza fra un anno e l’altro.
Il tasso di interesse annuo si calcola sempre con la formula I = t x C. Per quanto riguarda il montane nel primo periodo si calcolerà con M = C + iC. Invece per gli anni successivi basterà moltiplicare tC per il loro numero. Così per calcolare i guadagni dopo tre anni sarà sufficiente scrivere M = C + 3(iC). Vediamo di seguito un esempio pratico per vedere meglio la differenza.
Supponiamo di investire un capitale iniziale di 1.500 euro ad un tasso di interesse del 12% per 4 anni. Abbiamo perciò C = 1.500 e i = 12% da calcolare su 1.500 euro. Il montante sarà il risultato di C + 4(iC) e quindi sostituendo i valori M = 1.500 + 4(180) = 1.500 + 720 = 2.220 euro dopo 4 anni. Con le formule capitalizzazione composta invece il guadagno sarebbe molto diverso.
Infatti usando la formula vista prima ossia M = C (1 + i)t per 4 anni si otterrebbero guadagni pari a 1.500(1 + 0,12)4 = 2360 euro. Si rivela dunque più redditizia la seconda da questo confronto.
L’interesse composto è sempre più conveniente rispetto a quello semplice?
Anche se i due sistemi illustrati sono molto diversi non è così semplice definire quale sia davvero il più conveniente. Come si evince dagli esempi precedenti però c’è un aspetto innegabile. Ovvero che nel caso della capitalizzazione semplice gli interessi prodotti sul lungo periodo sono inferiori rispetto a quella composta.
C’è chi attribuisce ad Einstein una citazione in cui il celebre fisico si spinse a definire l’interesse composto come “l’ottava meraviglia del mondo“. Aggiunse però, come ogni bravo scienziato, che esso ha due facce della medaglia: solo chi riesce a comprenderlo ci guadagna.
