La congettura di Poincaré e la dimostrazione di Grigorij Perelman
Chi studia Matematica ha sicuramente sentito parlare della congettura di Poincaré e di come per 100 anni sia resistita ai tentativi di risolverla. Stilata dal matematico Jules-Henry Poincaré nel 1904 trovò la sua dimostrazione quasi 100 anni dopo, nel 2003. Il merito andò a un giovane matematico russo di nome Grigorij Jakovlevic Perelman.
A onor del vero questo problema ora ha perso il suo status di congettura. Si usa questo termine infatti per riferirsi a un’affermazione matematica che si reputa vera ma che non si ha modo di dimostrare, né esiste una sua confutazione. Nel momento in cui qualche studioso riesce a stenderla tuttavia il suo enunciato diventa a tutti gli effetti un teorema.
L’enunciato della congettura di Poincaré
Prima di addentrarci nella sua spiegazione bisogna vedere quale sia l’enunciato che per un secolo ha rappresentato una sfida per i matematici.
Secondo come il suo ideatore la riportò all’inizio suonava come segue: ogni 3-varietà chiusa e semplicemente connessa è (topologicamente) una 3-sfera. Con 3-sfera si intende una generalizzazione di questo solido all’interno di uno spazio a quattro dimensioni.
Formulata in modo più esplicito, la congettura di Poincaré afferma che la 3-sfera è l’unica varietà tridimensionale chiusa che non presenta buchi. Per la 2-sfera, che sarebbe il solido che conosciamo noi, si tratta di una proprietà già assodata. Ne consegue che ogni percorso chiuso che avvenga sulla sua superficie si possa contrarre fino a diventare un singolo punto.
A livello visivo possiamo immaginare di usare una banda elastica e di farla passare attorno a una palla di vetro. Portandola fino al suo equatore e poi tirandolo verso uno dei poli senza mai staccarlo dalla superficie del solido la banda si accorcerà via via. Ipoteticamente potrebbe ridursi a un punto immaginando che continui a rimpicciolirsi.
Questo esempio però si ferma alle tre dimensioni della realtà e perciò la palla di vetro è una 2-sfera. La cosa interessante è che nonostante la 3-sfera abbia costituito il problema del secolo l’enunciato di Poincaré abbia trovato presto dimostrazione in più di 4 dimensioni. Nel 1961 risultava già risolto per la 4-sfera, ossia in cinque dimensioni.
I problemi del millennio
La visibilità della congettura di Poincaré dipende soprattutto dal fatto di risultare ormai risolta, ma rappresenta solo uno dei Sette Problemi del Millennio. Pare che l’idea di lanciare delle sfide ai matematici l’avesse avuta il famosissimo matematico David Hilbert, che intendeva proporne ben ventitré.
Negli anni molti furono risolti, ma all’inizio degli anni 2000 ne restavano sette ancora da dimostrare.
A pubblicarne la lista per renderli di nuovo di interesse ci pensò il Clay Mathematics Institute (CMI) durante il celebre Convegno del Millennio tenutosi a Parigi.
Per la risoluzione di ciascuna di questi sette arcani della Matematica il CMI è pronto a offrire un milione di dollari. Ne rimangono sei a disposizione volendo, quindi i fondi sono ancora congelati in attesa delle soluzioni.
Oltre alla congettura di Poincaré troviamo perciò il problema P versus NP, su cui si sta concentrando di più l’attenzione degli informatici.
Potremmo esprimerlo in maniera semplice dicendo che vuole stabilire la relazione fra le classi P e NP. Vale a dire se si tratti di insiemi che sono uno interno all’altro oppure coincidano fra di loro.
Quello che si considera come il più difficile dei Problemi del Millennio però è noto come la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer. Per risolverlo si richiede di stabilire a livello generale quanti numeri razionali abbia una curva ellittica, ossia un’equazione nella forma y2 = x3 + ax + b.
L’annuncio della soluzione della congettura di Poincaré
La comunità dei grandi matematici rimase sconvolta quando nel 2002 sul web comparvero delle dichiarazioni a nome di Grigorij Jakovlevic Perelman.
Era un professore universitario di origine russa e affermava in tutto sicurezza di poter dimostrare il problema usando il programma di geometrizzazione di Hamilton. A sostegno delle sue affermazioni pubblicò alcuni preprint sul sito arXiv.
La dimostrazione completa arrivò circa due anni dopo, pronta per essere esaminata dalla commissione del CMI. Un compito che non si rivelò facile visto che Perelman esponeva le proprie argomentazioni in modo minuzioso ma per questo quasi dispersivo. Per documentare la dimostrazione punto per punto alla fine servirono ben 1.000 pagine.
L’importanza della dimostrazione della congettura di Poincaré è innegabile considerato che può portare nuove informazioni sulla comprensione della realtà. Lo spazio tridimensionale alla fine è quello in cui viviamo, e quelli che hanno più o meno dimensioni sono solo concetti astratti nella nostra mente.
Purtroppo sembra che Grigorij Perelman non condividesse questo pensiero perché dopo aver presentato i suoi risultati sembrò sparire nel nulla.
Prima però rifiutò sia l’assegno a sei cifre che gli spettava di diritto così come la medaglia Fields. Una cosa inaudita considerando il prestigio di questo riconoscimento per un matematico.
La lezione di Perelman
Nel momento in cui il matematico russo annunciò di poter risolvere il primo problema del Millennio infatti ricevette un invito particolare da un collega, Giang Tian. Gli chiese di spiegare quanto dimostrato nel corso di una lezione da tenere negli Stati Uniti.
Ovvero che per lui la famosa congettura era solo parte di un progetto più ampio, tanto che disorientò i suoi interlocutori.
Dall’altro il fatto che la lezione risultò troppo complessa e occorsero due anni per finire di esaminare la dimostrazione in forma cartacea.
